Ábra

1.ábra

Ha egy háromszög oldalai a, b és c, a c oldallal szemközti szöge \gamma, akkor a háromszögre érvényes a következő összefüggés:

c^2 = a^2 + b^2 - 2  a b \cos \gamma

A koszinusztétel segítségével kiszámolható két oldal és közbe zárt szög segítségével a háromszög harmadik oldala, valamint a háromszög oldalainak függvényében a háromszög szögei.

Bizonyítás:

Használjuk az 2.ábra jelöléseit!

Nyilvánvaló,  hogy

Ábra

2. ábra

\vec{c} = \vec{a} - \vec{b}

Emeljük négyzetre az egyenlet mindkét oldalát (szorozzuk önmagával skalárisan)!

{\vec{c}} \cdot {\vec{c}} = ( \vec{a} - \vec{b} )\cdot  ( \vec{a} - \vec{b} ) = {\vec{a} \cdot {\vec{a}}} + {\vec{b} \cdot \vec{b}} - 2 \vec{a} \cdot \vec{b} (Kihasználtuk, hogy a skaláris szorzás disztributív!)

A skaláris szorzás definícióját alkalmazva kapjuk a kívánt összefüggést:

c^2 = a^2 + b^2 - 2  a b \cos \gamma