A Pitagorasz tétel és megfordítása

2 perc olvasás

Pitagorasz tétele

A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzet területével.

Hirdetés

Algebrai alakban: $a^2 +b^2 =c^2$ , ahol a és b a derékszögű háromszög két befogója és c az átfogója.

Bizonyítás:

I. A legismertebb

Az ábráról leolvasható a tétel bizonyítása.

A két $a+b$ oldalú négyzet területe egyenlő, és ha mindkettőből elvesszük az eredeti háromszög területének 4-szeresét, akkor egyenlő területeket kapunk.

II. A befogó-tétel segítségével

Legyen a háromszög két befogója a és b az átfogója pedig c! Ossza az átfogót a hozzá tartozó magasság
$c_1$ és $c_2$ részre!

Hirdetés

Ekkor a befogó tételt felírva:

$a^2 = c \cdot c_1$

$b^2 = c \cdot c_2$

A két egyenletet összeadva:

$a^2 + b^2 = c (c_1 + c_2) = c^2$

A Pitagorasz-tétel megfordítása

Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Vegyünk egy háromszöget, melyre teljesül, hogy $a^2+b^2=c^2$ , ahol a, b és c a háromszög oldalai!
Be fogjuk látni, hogy derékszögű.
Az a és b befogójú derékszögű háromszög átfogója legyen $c'$ ! Írjuk fel a Pitagorasz-tételt erre a háromszögre!
$a^2+b^2 = {c'}^2$
A két egyenletet összevetve kapjuk, hogy $c^2 = {c'}^2$ , amiből $c = {c'}$ következik. Ez viszont azt jelenti, hogy a két háromszög oldalai megegyeznek, így a két háromszög egybevágó, ezért az eredeti háromszögnek is van derékszöge.