Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét!

2 perc olvasás

Fejezze ki a körcikk és a körszelet területét a sugár és a középponti szög [ívhossz] segítségével!

Hirdetés

A körcikk a körlapnak és egy középponti szög tartományának a közös része. Az $r$ sugarú $i$ hosszságú ívhez tartozó körcikk nyílásszöge fokokban kifejezve legyen $\alpha$ fok, az ívmértéke legyen $\beta$ , a kör cikk területe $t$ legyen.

A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe egyenesen arányos.

Ezt felhasználva: $\displaystyle \frac{\alpha}{360^\circ} = \frac{\beta}{2\pi}=\frac{t}{r^2\pi}$ , innen $\to$

$\displaystyle t=\frac{\pi}{360^\circ\cdot2\cdot\alpha}=\frac{r^2\beta}{2}$

az ívmérték definíciója alapján a körív hossza a hozzátartozó középponti szög ívmértékének $r$ -szerese; $i=r\cdot\beta$ . Beírjuk ezt be a körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe:

$\displaystyle T=\frac{r\cdot i}{2}$

a körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy az őt tartalmazó körcikk területéből kivonjuk kiegészítő háromszög területét: Körszelet területe $\displaystyle T=\frac{r^2\cdot\beta}{2-r^2\cdot \frac{sin(\alpha)}{2}}=\frac{i\cdot r}{2-r^2\cdot \frac{sin(\alpha)}{2}}$ $\beta$ : A körív hosszához tartozó középponti szög.