Hirdetés

Végtelen sok prímszám létezik – bizonyítás

3 perc olvasás

Indirekt módon bebizonyítjuk, hogy végtelen sok prímszám van. Eukleidész már az ókorban bebizonyította, hogy nincs legnagyobb prímszám. A most közölt bizonyítás az ő gondolatmenetén alapul.

Hirdetés

Indirekt módon tegyük fel, hogy csak véges sok prímszám van; legyenek ezek p_1, p_2, p_3, p_4, \ldots , p_n. Az indirekt feltevésünkből ellentmondásra fogunk jutni, ez bizonyítja azt, hogy valóban végtelen sok prímszám létezik.

Definiáljuk a p_{n+1} számot a következőképpen: p_{n+1} = p_1p_2p_3 \ldots p_n + 1. Mivel a p_1p_2p_3 \ldots p_n szorzat pozitív, ezért p_{n+1} > 1, így p_{n+1} vagy prímszám, vagy összetett szám. Vizsgáljuk meg mindkét esetet:

  • p_{n+1} prímszám: A definíció miatt p_{n+1} nagyobb, mint bármelyik p_i prím, speciálisan mindegyiküktől különbözik. Ezzel találtunk egy (n+1). prímet, ami ellentmond azon feltevésünknek, miszerint csak a p_1,p_2, \ldots ,p_n számok prímek.
  • p_{n+1} összetett szám: Tudjuk, hogy p_{n+1}>1, így a számelmélet alaptétele szerint p_{n+1} (a prímtényezők sorrendjétől eltekintve egyértelműen) felbomlik prímtényezők szorzatára. Szemeljük ki tetszőlegesen az egyik prímszámot, amelyik szerepel ebben a szorzatban; mivel feltevésünk szerint p_1, p_2, \ldots, p_n az összes prímszám, ezért ez a prím p_i lesz valamelyik i indexre. Erre a prímszámra p_i | p_{n+1} lesz, azaz valamilyen alkalmas k egész számra p_{n+1} = kp_i. Ezt az összefüggést beírva p_{n+1} definíciójába az alábbi egyenletekhez jutunk:

    \[p_1p_2p_3 \ldots p_n + 1 = p_{n+1} = kp_i\]

    \[1 = kp_i - p_1p_2p_3 \ldots p_n\]

Az egyenlet jobb oldalának mindkét tagjában szerepel p_i, mint szorzótényező, tehát mindkét tag osztható p_i-vel, ami folytán az egész jobb oldal is osztható p_i-vel. Az egyenlőség miatt így a bal oldalnak is oszthatónak kell lennie p_i-vel.

Azt kaptuk, hogy egy egynél nagyobb prímszám osztja az 1-et, ami lehetetlen. Ezzel a p_{n+1}-re vonatkozó mindkét vizsgált esetben ellentmondásra jutottunk, emiatt a kezdeti feltevésünk hamis. Bebizonyítottuk, hogy végtelen sok prímszám létezik.

Hirdetés


Iratkozz fel hírlevelünkre

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!

Sikeres feliratkozás

Valami hiba történt!