Háromszög köré írható körének bizonyítása – Videó bizonyítás
Bebizonyítjuk, hogy egy háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást és ez a pont pedig, a háromszög köréírható körének középpontja.
Rajzoljunk egy általános háromszöget és rajzoljuk be az oldalfelező merőlegeseit. Melyek olyan egyenesek, amelyek rendre az oldal felezőpontjában metszik az oldalakat és merőlegesek azokra.
Oldalfelező merőleges definíció szerint egy szakaszon azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek az
és
pontoktól való távolságai megegyeznek.
Ha veszünk egy pontot mely és
egyenesek metszete az
pont, akkor teljesülni fog, hogy ennek a pontnak a távolsága az
ponttól, megegyezik a
ponttól való távolságával, azaz
(1)
Tudjuk, hogy pont rajta van az
egyenesen is, nade
annak a pontoknak a halmaza, melyek egyenlő távolságra vannak a
és a
ponttól is, azaz
(2)
Tehát igaz lesz az is, hogy
(3)
Ez azt jelenti, hogy az pont egyenlő távolságra van
és
ponttól is. De az olyan pontok halmaza mely az
és
ponttól is egyenlő távolságra vannak az az
szakasz felezőmerőlegese azaz a
egyenes.
Tehát a pont rajta van a
egyenesen.
Így a egyenes átmegy ezen a metszésponton, a három egyenes egy pontban metszi egymást.
Ez a pont lesz a háromszög körülírható körének a középpontja. Mivel a körülírt kör egy olyan kör, mely átmegy a háromszög mindhárom csúcsán. Ez azért teljesülhet, mert ez a pont a háromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra van.