A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség két változóban

3 perc olvasás

A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy néhány pozitív szám számtani közepe mindig legalább akkora, mint a mértani közepe, és egyenlőség csak abban az esetben teljesül, ha az összes vizsgált szám megegyezik. Most ezt az állítást bizonyítjuk be két változóban.

Hirdetés

Definíció szerint az $a,b$ pozitív valós számok számtani közepe (átlaga) $\frac{a+b}{2},$ mértani közepe pedig $\sqrt{ab}.$ Azt az egyenlőtlenséget fogjuk bizonyítani, hogy $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab},$ és egyenlőség csak $a=b$ esetén áll fenn.

A bizonyítás során ekvivalens átalakításokat fogunk végrehajtani az egyenlőtlenségen, azaz olyan átalakításokat, amellyel az eredetivel egyenértékű egyenlőtlenséget kapunk:

$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$

$a+b \geq 2\sqrt{ab}$

A következő átalakítás során mindkét oldalt négyzetre emeljük. Ez azért tehető meg, mivel $a+b$ és $2\sqrt{ab}$ egyaránt pozitív számok, két pozitív szám egymáshoz való nagysági viszonya pedig ugyanaz, mint a négyzetük egymáshoz való nagysági viszonya: $x,y > 0$ esetén $x>y$ pontosan akkor, ha $x^2 > y^2.$ (Negatív számok esetén azonban már létezik olyan egyenlőtlenség, amit mindkét oldal négyzetreemelése hamissá tesz: $-3 < -2,$ azonban $(-3)^2 = 9 > 4 = (-2)^2.$ )

Tehát a kapott egyenlőtlenség:

$(a+b)^2 \geq (2\sqrt{ab})^2$

$a^2 + 2ab + b^2 \geq 4ab$

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

Vegyük észre, hogy a bal oldalon éppen egy nevezetes azonosság, méghozzá $(a-b)^2$ szerepel.

Hirdetés

$(a-b)^2 \geq 0$

Ez utóbbi egyenlőtlenség pedig minden esetben igaz, hiszen valós szám négyzete sohasem lehet negatív. Mivel ekvivalens átalakításokat használtunk, ezért sorra minden felírt egyenlőtlenségünk igaz volt, így speciálisan a kiindulási egyenlőtlenség is.

Sőt, az ekvivalencia miatt az eredeti egyenlőtlenségben pontosan akkor van egyenlőség, amikor ez utóbbi egyenlőtlenségben egyenlőség van. Tehát az egyenlőség feltételének meghatározásához meg kell oldanunk az $(a-b)^2 = 0$ egyenletet. Egy szám négyzete pontosan akkor $0,$ ha önmaga $0,$ ezért $a-b = 0,$ azaz $a=b.$ Ezzel beláttuk azt is, hogy a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenségben csak $a=b$ esetén teljesül egyenlőség.