Hirdetés

A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség két változóban

3 perc olvasás

A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség azt fejezi ki, hogy néhány pozitív szám számtani közepe mindig legalább akkora, mint a mértani közepe, és egyenlőség csak abban az esetben teljesül, ha az összes vizsgált szám megegyezik. Most ezt az állítást bizonyítjuk be két változóban.

Hirdetés

Definíció szerint az a,b pozitív valós számok számtani közepe (átlaga) \frac{a+b}{2}, mértani közepe pedig \sqrt{ab}. Azt az egyenlőtlenséget fogjuk bizonyítani, hogy \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}, és egyenlőség csak a=b esetén áll fenn.

A bizonyítás során ekvivalens átalakításokat fogunk végrehajtani az egyenlőtlenségen, azaz olyan átalakításokat, amellyel az eredetivel egyenértékű egyenlőtlenséget kapunk:

    \[\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}\]

    \[a+b \geq 2\sqrt{ab}\]

A következő átalakítás során mindkét oldalt négyzetre emeljük. Ez azért tehető meg, mivel a+b és 2\sqrt{ab} egyaránt pozitív számok, két pozitív szám egymáshoz való nagysági viszonya pedig ugyanaz, mint a négyzetük egymáshoz való nagysági viszonya: x,y > 0 esetén x>y pontosan akkor, ha x^2 > y^2. (Negatív számok esetén azonban már létezik olyan egyenlőtlenség, amit mindkét oldal négyzetreemelése hamissá tesz: -3 < -2, azonban (-3)^2 = 9 > 4 = (-2)^2.)

Tehát a kapott egyenlőtlenség:

    \[(a+b)^2 \geq (2\sqrt{ab})^2\]

    \[a^2 + 2ab + b^2  \geq 4ab\]

    \[a^2 - 2ab + b^2 \geq 0\]

Vegyük észre, hogy a bal oldalon éppen egy nevezetes azonosság, méghozzá (a-b)^2 szerepel.

    \[(a-b)^2 \geq 0\]

Ez utóbbi egyenlőtlenség pedig minden esetben igaz, hiszen valós szám négyzete sohasem lehet negatív. Mivel ekvivalens átalakításokat használtunk, ezért sorra minden felírt egyenlőtlenségünk igaz volt, így speciálisan a kiindulási egyenlőtlenség is.

Sőt, az ekvivalencia miatt az eredeti egyenlőtlenségben pontosan akkor van egyenlőség, amikor ez utóbbi egyenlőtlenségben egyenlőség van. Tehát az egyenlőség feltételének meghatározásához meg kell oldanunk az (a-b)^2 = 0 egyenletet. Egy szám négyzete pontosan akkor 0, ha önmaga 0, ezért a-b = 0, azaz a=b. Ezzel beláttuk azt is, hogy a számtani-mértani közepek közötti egyenlőtlenségben csak a=b esetén teljesül egyenlőség.

Hirdetés

Iratkozz fel hírlevelünkre

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!

Sikeres feliratkozás

Valami hiba történt!