Hirdetés

Logaritmus

Logaritmus

 Vegyük az ab=c kifejezést!

Mi a teendő, ha adott a és b mellett c ismeretlen? x=ab, vagyis elvégzünk egy hatványozást.

Mi van akkor, ha b és c adott? xb=c x=b√c, tehát gyökvonást alkalmazunk.

De mit lehet kezdeni egy ax=c alakú kifejezéssel?

Ha arra vagyok kiváncsi, hogy egy adott szám egy másik adott számnak hanyadik hatványa, akkor az hatványalap kitevőjét, vagyis a logaritmusát keresem.

Hirdetés

Definíció: ha ax=b, akkor x=logab (“a alapú logaritmus b”). a alapú logaritmus b jelenti azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk (alogab=b). a>0, a≠1, b>0, logab valós szám.

Megállapodás szerint a 10-alapú logaritmust log10b helyett lg(b)-nek jelöljük, és az e-alapú logaritmust logeb helyett ln(b)-nek, ritkábban log(b)-nek jelöljük. e az an=(1+1/n)n sorozat határértéke, irracionális szám, értéke kb. 2,718.

Azonosságok:

  1. loga(x∙y)=logax+logay, a>0, a≠1, x>0, y>0

  2. loga(x/y)=logax-logay, a>0, a≠1, x>0, y>0

  3. loga(xn)=n∙logax, a>0, a≠1, x>0, y>0, n valós szám

  4. (új alapra áttérés): logab=logcb/logca, a>0, a≠1, x>0, y>0, c>0, c≠1

A logaritmusfüggvény ábrázolható.

f(x)=logax: értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valósak. Zérushelye van x=1-ben. Az f(x)=1 értékhez tartozó x érték megadja az alapot. Képe az alap nagyságától függ. Ha a>1, akkor a függvény szigorúan monoton nő és konkáv, 0+ban vett határértéke mínusz végtelen. Ha 0<a<1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken, konvex, 0+-ban vett határértéke plusz végtelen.

A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze. logax deriváltja 1/(x∙ln a).

Gyakorlati alkalmazása: főképp a fizikában és a biológiában. Előbbi tudomány terén számos esetben megjelenik a logaritmikus növekedés vagy csökkenés, például radioaktív bomlás esetén, és sok, a természetben fellelhető folyamat folyik exponenciálisan vagy logaritmikusan.

Címkék: logaritmus



Ady Endre (26) Angol (29) angol nyelvtan (35) Arany János (18) Atom (20) egyenes (25) elemzés (139) ember (23) energia (26) Filozófia (37) függvény (25) gazdaság (34) halmaz (24) háromszög (25) hőmérséklet (32) líra (22) magyar (22) magyar irodalom (289) Magyarország (38) magyar történelem (102) Matematika (25) Nyelvtan (43) PC (60) Petőfi Sándor (20) politika (24) párhuzamos (18) szerves (32) szervetlen (31) számok (27) számítógép (60) szög (25) tartalom (18) test (28) tétel (18) Történelem (21) USA (18) valós (19) vektor (18) vers (50) verselemzés (47) világirodalom (111) világtörténelem (115) víz (22) életrajz (21) érettségi (34)
Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!