Logaritmus

 Vegyük az ab=c kifejezést!

Mi a teendő, ha adott a és b mellett c ismeretlen? x=ab, vagyis elvégzünk egy hatványozást.

Mi van akkor, ha b és c adott? xb=c x=b√c, tehát gyökvonást alkalmazunk.

De mit lehet kezdeni egy ax=c alakú kifejezéssel?

Ha arra vagyok kiváncsi, hogy egy adott szám egy másik adott számnak hanyadik hatványa, akkor az hatványalap kitevőjét, vagyis a logaritmusát keresem.

Definíció: ha ax=b, akkor x=logab (“a alapú logaritmus b”). a alapú logaritmus b jelenti azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk (alogab=b). a>0, a≠1, b>0, logab valós szám.

Megállapodás szerint a 10-alapú logaritmust log10b helyett lg(b)-nek jelöljük, és az e-alapú logaritmust logeb helyett ln(b)-nek, ritkábban log(b)-nek jelöljük. e az an=(1+1/n)n sorozat határértéke, irracionális szám, értéke kb. 2,718.

Azonosságok:

  1. loga(x∙y)=logax+logay, a>0, a≠1, x>0, y>0

  2. loga(x/y)=logax-logay, a>0, a≠1, x>0, y>0

  3. loga(xn)=n∙logax, a>0, a≠1, x>0, y>0, n valós szám

  4. (új alapra áttérés): logab=logcb/logca, a>0, a≠1, x>0, y>0, c>0, c≠1

A logaritmusfüggvény ábrázolható.

f(x)=logax: értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valósak. Zérushelye van x=1-ben. Az f(x)=1 értékhez tartozó x érték megadja az alapot. Képe az alap nagyságától függ. Ha a>1, akkor a függvény szigorúan monoton nő és konkáv, 0+ban vett határértéke mínusz végtelen. Ha 0<a<1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken, konvex, 0+-ban vett határértéke plusz végtelen.

A logaritmusfüggvény az exponenciális függvény inverze. logax deriváltja 1/(x∙ln a).

Gyakorlati alkalmazása: főképp a fizikában és a biológiában. Előbbi tudomány terén számos esetben megjelenik a logaritmikus növekedés vagy csökkenés, például radioaktív bomlás esetén, és sok, a természetben fellelhető folyamat folyik exponenciálisan vagy logaritmikusan.