Logaritmus

Logaritmus

b=c kifejezést!

a és b mellett c ismeretlen? x=a^b, vagyis elvégzünk egy hatványozást.

b és c adott? x^b=c  x=^b√c, tehát gyökvonást alkalmazunk.

x=c alakú kifejezéssel?

Ha arra vagyok kiváncsi, hogy egy adott szám egy másik adott számnak hanyadik hatványa, akkor az hatványalap kitevőjét, vagyis a logaritmusát keresem.

Definíció: ha a^x=b, akkor x=log_ab (“a alapú logaritmus b”). a alapú logaritmus b jelenti azt a kitevőt, amelyre a-t emelve b-t kapunk (a^log_a^b=b). a>0, a≠1, b>0, log_ab valós szám.

10b helyett lg(b)-nek jelöljük, és az e-alapú logaritmust log_eb helyett ln(b)-nek, ritkábban log(b)-nek jelöljük. e az a_n=(1+1/n)ⁿ sorozat határértéke, irracionális szám, értéke kb. 2,718.

Azonosságok:

1. a(x∙y)=log_ax+log_ay, a>0, a≠1, x>0, y>0
2. a(x/y)=log_ax-log_ay, a>0, a≠1, x>0, y>0
3. a(xⁿ)=n∙log_ax, a>0, a≠1, x>0, y>0, n valós szám
4. ab=log_cb/log_ca, a>0, a≠1, x>0, y>0, c>0, c≠1

A logaritmusfüggvény ábrázolható.

ax: értelmezési tartománya a pozitív számok halmaza, értékkészlete a valósak. Zérushelye van x=1-ben. Az f(x)=1 értékhez tartozó x érték megadja az alapot. Képe az alap nagyságától függ. Ha a>1, akkor a függvény szigorúan monoton nő és konkáv, 0⁺ban vett határértéke mínusz végtelen. Ha 0<a<1, akkor a függvény szigorúan monoton csökken, konvex, 0⁺-ban vett határértéke plusz végtelen.

ax deriváltja 1/(x∙ln a).

Gyakorlati alkalmazása: főképp a fizikában és a biológiában. Előbbi tudomány terén számos esetben megjelenik a logaritmikus növekedés vagy csökkenés, például radioaktív bomlás esetén, és sok, a természetben fellelhető folyamat folyik exponenciálisan vagy logaritmikusan.