Hirdetés

Azonosságok #3

Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. logA (x*y) =logA x +logA y
B. logA (x /y) =logA x -logA y
C. logA (x^k) =k*logA x

Hirdetés

Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra?
A.
Az állítás igaz, ha x >0, y >0 [amire vonatkozik a logaritmus], az A >0 [alap], mely nem lehet egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével.

Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton.

Írjuk fel az x-et, és az y-t A hatványaként!

x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y

Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.] =u +v logA (x*y) =logA (a^u*a^v) =logA (a^(u +v)) [Egyenlő alapú
hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük]
logA x +logA y =u +v
A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.
logA (x*y) =logA x +logA y

Kikötés: x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel.

B.
Az állítás igaz, ha x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel. Az azonosság azt mondja ki, hogy hányados adott alapú logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező ugyanilyen alapú logaritmusának különbségével.

Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan monoton.
x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y
logA (x /y) =logA ({a^u /a^v}) =logA (a^(u -v)) =u -v
logA x -logA y =u -v

C.
Az állítás igaz akkor, ha x >0, k valós, és az A >0, de nem egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával.

A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton:
x =a^u
u =logA x

A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára emeljük] így írható: logA (x^k) =logA ((a^u)^k) =logA (a^(u*k)) =u*k
A jobb oldala: k*logA x =k*u

A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.

A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az egyenletek megoldásakor gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C] azonosságokat fordított irányba olvasva is. A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya. Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével.



Ady Endre (26) Angol (29) angol nyelvtan (35) Arany János (18) Atom (20) egyenes (25) elemzés (139) ember (23) energia (26) Filozófia (37) függvény (25) gazdaság (34) halmaz (24) háromszög (25) hőmérséklet (32) líra (22) magyar (22) magyar irodalom (289) Magyarország (38) magyar történelem (102) Matematika (25) Nyelvtan (43) PC (60) Petőfi Sándor (20) politika (24) párhuzamos (18) szerves (32) szervetlen (31) számok (27) számítógép (60) szög (25) tartalom (18) test (28) tétel (18) Történelem (21) USA (18) valós (19) vektor (18) vers (50) verselemzés (47) világirodalom (111) világtörténelem (115) víz (22) életrajz (21) érettségi (34)
Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!