Hirdetés
Hirdetés

Hatványozás

3 perc olvasás

Definíciók: an egy n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. a valós, n pozitív egész.

a,b valós, n,m pozitív egész szám:

Azonosságok:

  1. an∙am=an+m (azonos alapú hatványok szorzata az alap a kitevők összegére emelve)

  2. an:am=an-m n>m (azonos alapú hatványok hányadosa az alap a kitevők különbségére emelve)

  3. (an)m=an∙m (hatvány hatványa az alap a kitevők szorzatára emelve)

  4. an∙bn=(a∙b)n (azonos kitevőjű hatványok szorzata az alapok szorzata a kitevőre emelve)

  5. an:bn=(a:b)n (azonos kitevőjű hatványok hányadosa az alapok hányadosa a kitevőre emelve)

 

Kibővítjük a hatványfogalmat, vagyis bővítjük a kitevő értelmezési tartományát. Ezt a permanencia-elvvel összhangban tesszük, vagyis úgy, hogy a korábban fennálló azonosságok ne sérüljenek.

Hirdetés

Definíció: a0=1, 0-nak nem értelmezzük a nulladik hatványát. Az azonosságok ezzel megmaradnak.

A második azonosságot bővítve: a0:am=a0-m. Ezzel a szemlélettel kiterjesztjük a negatív kitevőkre is a hatványfogalmat:

Definíció: a-n=1/an, ha n természetes szám.

A hatványfogalmat tovább bővítjük, a kitevőket értelmezve a racionális számok halmazán is. Racionális számok azok a számok, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként.

Definíció: ap/q az a szám, amit ha a q-adik hatványon veszünk, ap-t kapjuk (elég p,q pozitív egészekre vizsgálni, lévén, hogy értjük a negatív kitevő fogalmát). Az egyértelműség végett szükséges, hogy p és q relatív prímek legyenek. Abban az esetben, ha q páros, az alap csak pozitív szám lehet. (A törtkitevő ekvivalens a gyökvonással, ld. később). Azonosságok is megmaradnak.

Mivel az irracionális számok tetszőlegesen közelíthetőek racionális számokkal, és az exponenciális függvények szigorúan monotonak, ezért az irracionális kitevőt is értelmezzük.

A hatványfogalom ismeretében minden valós számra értelmezzük a hatványfüggvényt:

f(x)=xn (n valós szám).

Képe leginkább a kitevő paritásától függ. A páros kitevőjű hatványfüggvények párosak, míg a páratlan kitevőjű függvények páratlanok.

Transzformálhatóak, összeadással (és kivonással) eltolhatjuk őket az x, illetve az y tengely mentén, szorzással (és osztással) pedig a két tengely mentén alkalmazhatunk merőleges affinitást.

Hirdetés

Iratkozz fel hírlevelünkre

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!

Sikeres feliratkozás

Valami hiba történt!

Ez is érdekelhet még:
A magyar felvilágosodás irodalmából

Csokonai Vitéz Mihály, Kármán József,  Batsányi János, Bessenyei György A felvilágosodás mint egyetemes, nemzetközi eszmerendszer Európa országaiban eléggé változatos képet mutat....

Pótfelvételizők, figyelem! Fontos határidő jár le ma éjfélkor
Pótfelvételizők, figyelem! Fontos határidő jár le ma éjfélkor

Már nincs sok idő hátra, legkésőbb ma éjfélig kell leadnotok a jelentkezéseteket a 2020-as pótfelvételin, ha szeptembertől egyetemen vagy főiskolán...

Close