Bizonyítsuk be, hogy gyök 2 irracionális!
A bizonyítás indirekt. Tegyük fel, hogy a 
racionális, vagyis felírható 
alakba, ahol a 
, és a 
egész számok, és tegyük fel, hogy a , és relatív prímek, azaz a tört már leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább egyszerűsíteni.
Hirdetés
Emeljük négyzete az egyenlet mindkét oldalát, majd szorozzunk be 
-tel.
Minden páros szám négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy nem csak a 
páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a 
alakú, akkor a az 
alakú. Ezt beírva az „eredeti” egyenletünkbe:
Egyszerűsítünk 2-vel: 
Ekkor viszont is páros, amiből következik, hogy q is az. Tehát p és q nem relatív prímek.
Ellentmondásra jutottunk, a kiinduló feltétel hibás, azaz irracionális.
Hirdetés
