Az első n pozitív egész szám négyzetösszege \frac{n\cdot (n +1)\cdot (2\cdot n +1)} {6}.

Bizonyítás (Teljes indukcióval)

I. Az összefüggés n =1-re igaz: \frac{1\cdot (1 +1)\cdot (2\cdot 1 +1)} {6} = 1.

II. Tegyük fel, hogy n – 1-re igaz az állítás:
1^2 +2^2 + _{\cdots}+(n -1)^2 =\frac{(n -1)\cdot n \cdot (2\cdot n -1)} {6}.

III. Megmutatjuk, hogy ekkor n-re is.
Adjuk az egyenlet mindkét oldalához n^2-et

1^2 +2^2 + _{\cdots}+(n -1)^2 +n^2 =\frac{n\cdot (n -1) \cdot (2\cdot n -1)}{6} +n^2.

A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva:

\frac{n\cdot (n -1) \cdot (2\cdot n -1)}{6} +n^2 =  \frac{n\cdot (2\cdot n^2 -3\cdot n + 1) + 6 \cdot n^2}{6} =\frac{n\cdot (2\cdot n^2 + 3\cdot n + 1)}{6} =\frac{n\cdot (n +1) \cdot (2\cdot n +1)}{6}, ami épp a bizonyítandó állítás.

Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz.