Hirdetés

Az első n pozitív egész szám négyzetösszege

Az első n pozitív egész szám négyzetösszege \frac{n\cdot (n +1)\cdot (2\cdot n +1)} {6}.

Bizonyítás (Teljes indukcióval)

I. Az összefüggés n =1-re igaz: \frac{1\cdot (1 +1)\cdot (2\cdot 1 +1)} {6} = 1.

II. Tegyük fel, hogy n – 1-re igaz az állítás:
1^2 +2^2 + _{\cdots}+(n -1)^2 =\frac{(n -1)\cdot n \cdot (2\cdot n -1)} {6}.

III. Megmutatjuk, hogy ekkor n-re is.
Adjuk az egyenlet mindkét oldalához n^2-et

1^2 +2^2 + _{\cdots}+(n -1)^2 +n^2 =\frac{n\cdot (n -1) \cdot (2\cdot n -1)}{6} +n^2.

A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva:

\frac{n\cdot (n -1) \cdot (2\cdot n -1)}{6} +n^2 =  \frac{n\cdot (2\cdot n^2 -3\cdot n + 1) + 6 \cdot n^2}{6} =\frac{n\cdot (2\cdot n^2 + 3\cdot n + 1)}{6} =\frac{n\cdot (n +1) \cdot (2\cdot n +1)}{6}, ami épp a bizonyítandó állítás.

Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz.



Ady Endre (26) Angol (29) angol nyelvtan (35) Arany János (18) Atom (20) egyenes (25) elemzés (139) ember (23) energia (26) Filozófia (37) függvény (25) gazdaság (34) halmaz (24) háromszög (25) hőmérséklet (32) líra (22) magyar (22) magyar irodalom (289) Magyarország (38) magyar történelem (102) Matematika (25) Nyelvtan (43) PC (60) Petőfi Sándor (20) politika (24) párhuzamos (18) szerves (32) szervetlen (31) számok (27) számítógép (60) szög (25) tartalom (18) test (28) tétel (18) Történelem (21) USA (18) valós (19) vektor (18) vers (50) verselemzés (47) világirodalom (111) világtörténelem (115) víz (22) életrajz (21) érettségi (34)
Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!