Az első n pozitív egész szám négyzetösszege

1 perc olvasás

Az első n pozitív egész szám négyzetösszege $\frac{n\cdot (n +1)\cdot (2\cdot n +1)} {6}$ .

Bizonyítás (Teljes indukcióval)

I. Az összefüggés n =1-re igaz: $\frac{1\cdot (1 +1)\cdot (2\cdot 1 +1)} {6} = 1$ .

ï»¿II. Tegyük fel, hogy n – 1-re igaz az állítás:
$1^2 +2^2 + _{\cdots}+(n -1)^2 =\frac{(n -1)\cdot n \cdot (2\cdot n -1)} {6}$ .

Hirdetés

III. Megmutatjuk, hogy ekkor n-re is.
Adjuk az egyenlet mindkét oldalához $n^2$ -et

$1^2 +2^2 + _{\cdots}+(n -1)^2 +n^2 =\frac{n\cdot (n -1) \cdot (2\cdot n -1)}{6} +n^2$ .

A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva:

Hirdetés

$\frac{n\cdot (n -1) \cdot (2\cdot n -1)}{6} +n^2 = \frac{n\cdot (2\cdot n^2 -3\cdot n + 1) + 6 \cdot n^2}{6} =\frac{n\cdot (2\cdot n^2 + 3\cdot n + 1)}{6} =\frac{n\cdot (n +1) \cdot (2\cdot n +1)}{6}$ , ami épp a bizonyítandó állítás.

Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz.

Címkék: egész közös négyzet nevező összeg pozitív számok szorzat

Az első n pozitív egész szám négyzetösszege

Ezek is érdekelhetnek még:

Kedvenc tételeid

vagy

Belépés

vagy

Regisztráció

Iratkozz fel hírlevelünkre