Azonosságok #2

Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. n`(a*b) =n`a*n`b
B. n`(a /b) =n`a /n`b
C. (k`a)^n =k`(a^n)

A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a gyökvonás-osztás művelete megcserélhető.

A.
Az állítás igaz, ha n>1 [egész szám].
Páros n-re: A, és B egyaránt nem negatív szám.
Páratlan n-re: A, és b tetszőleges valós számok.
Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt.

Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (a*b)-vel.
((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n*(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó azonosság miatt] =a*b
Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos.
Páros n-re: amikor mindkét oldal „értelmes” [vagyis nem negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem igaz, ha páros a gyökkitevő, és A, vagy b értéke negatív, s ekkor az egyik oldalnak nincs értele.

B.
Az állítás igaz akkor, ha n >1 [egész szám].
Páros N esetén: A nem negatív valós szám, B pozitív valós szám
Páratlan N esetén: A tetszőleges valós szám, B nullával nem egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0]
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási sorrendjében] elosztjuk egymással.

Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk, hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját. A bal oldalon álló (n`(a /b))-nek az n-edik hatványát véve (a/b)-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: ({n`a/n`b})^n. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve ({n`a^n /n`b^n} =a /b)-t kapunk.
Páratlan N esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros N esetén pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel alatt.

C.
Az állítás igaz, ha k >=1 [egész szám], n =>1 [egész szám].
Páratlan k esetén az A tetszőleges valós szám lehet, páros k esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat negatív szám!]

Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre.

Bizonyítása: k`(a^n) írható úgy: k`(a*a*a*a*… [n darab szorzótényezővel]) =k`a*k`a*k`a*… [N darab szorzótényezővel], mely írható úgy, hogy: (k`a)^n. Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé is igazak.