Hirdetés

Azonosságok #2

Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. n`(a*b) =n`a*n`b
B. n`(a /b) =n`a /n`b
C. (k`a)^n =k`(a^n)

A hatványozás-gyökvonás, gyökvonás-szorzás, és a gyökvonás-osztás művelete megcserélhető.

A.
Az állítás igaz, ha n>1 [egész szám].
Páros n-re: A, és B egyaránt nem negatív szám.
Páratlan n-re: A, és b tetszőleges valós számok.
Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzatból tényezőnként vonhatunk gyököt.

Hirdetés

Bizonyítása: a gyök fogalom definíciója szerint az állítás bal oldalán álló (n`(a*b))^n az egyenlő (a*b)-vel.
((n`a)*(n`b))^n =(n`a)^n*(n`b)^n [szorzat hatványára vonatkozó azonosság miatt] =a*b
Páratlan n-re: ha a két oldal n-edik hatványa azonos, akkor a két oldal is azonos.
Páros n-re: amikor mindkét oldal “értelmes” [vagyis nem negatív], akkor az n-edik hatványok azonosságából ugyancsak következik a két oldal egyenlősége. Ez csak akkor nem igaz, ha páros a gyökkitevő, és A, vagy b értéke negatív, s ekkor az egyik oldalnak nincs értele.

B.
Az állítás igaz akkor, ha n >1 [egész szám].
Páros N esetén: A nem negatív valós szám, B pozitív valós szám
Páratlan N esetén: A tetszőleges valós szám, B nullával nem egyenlő valós szám. [Mert nevezőben nem állhat 0]
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtből úgy is vonhatunk gyököt, hogy a számlálóból, és a nevezőből is gyököt vonunk, és a kapott két mennyiséget [a bal oldal felírási sorrendjében] elosztjuk egymással.

Bizonyítása: felhasználjuk, hogy törteket úgy hatványozunk, hogy a számlálót, és a nevezőt a megfelelő kitevőre emeljük, valamint felhasználjuk a gyök fogalmának definícióját. A bal oldalon álló (n`(a /b))-nek az n-edik hatványát véve (a/b)-t kapunk, míg a jobb oldal n-edik hatványa: ({n`a/n`b})^n. Külön a számláló, és nevező n-edik hatványát véve ({n`a^n /n`b^n} =a /b)-t kapunk.
Páratlan N esetén tetszőleges számokra igaz ez, páros N esetén pedig akkor, ha mindkét oldalon nem negatív szám áll a gyökjel alatt.


C.

Az állítás igaz, ha k >=1 [egész szám], n =>1 [egész szám].
Páratlan k esetén az A tetszőleges valós szám lehet, páros k esetén pedig nem negatív valós szám. [Gyökjel alatt nem állhat negatív szám!]

Az azonosság kimondja, hogy a hatványozás, és a gyökvonás sorrendje felcserélhető egymással. Másképpen: gyökmennyiséget úgy hatványozhatunk, hogy a gyök alatti mennyiséget emeljük a kívánt kitevőre.

Bizonyítása: k`(a^n) írható úgy: k`(a*a*a*a*… [n darab szorzótényezővel]) =k`a*k`a*k`a*… [N darab szorzótényezővel], mely írható úgy, hogy: (k`a)^n. Az azonosságokat fordított irányba is olvashatjuk, visszafelé is igazak.



Ady Endre (26) Angol (29) angol nyelvtan (35) Arany János (18) Atom (20) egyenes (25) elemzés (139) ember (23) energia (26) Filozófia (37) függvény (25) gazdaság (34) halmaz (24) háromszög (25) hőmérséklet (32) líra (22) magyar (22) magyar irodalom (289) Magyarország (38) magyar történelem (102) Matematika (25) Nyelvtan (43) PC (60) Petőfi Sándor (20) politika (24) párhuzamos (18) szerves (32) szervetlen (31) számok (27) számítógép (60) szög (25) tartalom (18) test (28) tétel (18) Történelem (21) USA (18) valós (19) vektor (18) vers (50) verselemzés (47) világirodalom (111) világtörténelem (115) víz (22) életrajz (21) érettségi (34)
Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!