Azonosságok
,
, valós számok,
,
, pozitív egészek.
Bizonyítása
Az -ből
darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az
szorzótényezőket, és a
szorzótényezőket egymás mellé írva n darab
szorzótényező, és
darab szorzótényező van. Az
darab
szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy
, a
darab
szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy
, tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre.
A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is.
az azt jelenti, hogy
[
-szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban
darab szorzótényező van, amely
formában is felírható, a nevezőben
darab
szorzótényező van, amely
formában írható.
Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük.
Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre.
bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel.
Ez az azonosság azt jelenti, hogy az -t
-szor szorozzuk össze:
[
-szor] Az
-t felírhatjuk úgy is:
. Tehát, összesen
-szor van ilyen csoportunk, tehát
darab
-t szorzunk össze:
Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.
Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.