Azonosságok

3 perc olvasás

$A$ , $B$ , valós számok, $n$ , $k$ , pozitív egészek.

$(a*b)^n =a^n*b^n$

Bizonyítása

Az $(a*b)$ -ből $n$ darab szorzótényezőt veszünk, s az asszociativitás, és a kommutativitás felhasználásával az $A$ szorzótényezőket, és a $B$ szorzótényezőket egymás mellé írva n darab $A$ szorzótényező, és $n$ darab szorzótényező van. Az $n$ darab $A$ szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy $a^n$ , a $b$ darab $n$ szorzótényezőt úgy írhatjuk, hogy $b^n$ , tehát ez az azonosság azt mondja ki, hogy a szorzatot tényezőnként is hatványozhatjuk. Ha az azonosságot visszafelé olvassuk, akkor egyenlő kitevőjű hatványokat úgy is összeszorozhatunk, hogy az alapok szorzatát emeljük a közös kitevőre.

Hirdetés

$(a /b)^n =a^n /b^n$
A bizonyítás során felhasználjuk a hatvány definícióját, azt, hogy a törtek szorzásakor a számlálót a számlálóval, nevezőt a nevezővel szorozzuk, felhasználjuk még a szorzás asszociatív tulajdonságát is.

$(a /b)^n$ az azt jelenti, hogy $(a /b)*(a /b)*(a /b)$ [ $N$ -szer ismételve]. A törtek szorzását felhasználva [a művelet elvégzése után] a számlálóban $N$ darab szorzótényező van, amely $a^n$ formában is felírható, a nevezőben $n$ darab $b$ szorzótényező van, amely $b^n$ formában írható.

Az azonosság azt mondja ki, hogy törtet úgy is hatványozhatunk, hogy a számlálót, és a nevezőt külön-külön hatványozzuk, és a kapott hatványoknak [kívánt sorrendben] a hányadosát vesszük.

Az azonosságot fordított irányban is olvashatjuk: azonos kitevőjű hatványokat úgy is oszthatunk, hogy az alapok hányadosát emeljük a közös kitevőre.

Hirdetés

$(a^n)^k$ bizonyításakor a hatvány definícióját, és a szorzás asszociativitását használjuk fel.

Ez az azonosság azt jelenti, hogy az $(a^n)$ -t $k$ -szor szorozzuk össze: $(a^n)*(a^n)*(a^n)*...$ [ $K$ -szor] Az $(a^n)$ -t felírhatjuk úgy is: $a*a*a*a*...*n$ . Tehát, összesen $k$ -szor van ilyen csoportunk, tehát $n*k$ darab $a$ -t szorzunk össze: $a^(n*k)$

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatványt úgy is hatványozhatunk, hogy az alapot a kitevők szorzatára emeljük.

Az azonosság visszafelé olvasva azt mondja ki, hogy ha a kitevő szorzat, akkor a hatvány emeletes hatványalakba is írható, azaz külön hatványozzuk az egyik szorzótényezőre, majd ezt a hatványt hatványozzuk a másik szorzótényezőre.