Hirdetés
Hirdetés

Háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, beírható kör – Videó bizonyítás

3 perc olvasás

Bebizonyítjuk, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást és ez a pont a háromszög beírható körének a középpontja.

Rajzoljunk egy általános háromszöget és rajzoljuk be a szögfelező egyeneseket. Jelöljük el a kapott szögeket is az ábra szerint.

Azt kívánjuk igazolni, hogy mindegyik egyenes ugyanazon a ponton megy át.

Szögfelező egyenes definíció szerint, ha adott egy szögszár, jelen esetben az \alpha szögszár teszi ki az \overline{AC} és \overline{AB} egyeneseket. Ennek a szögnek a szögfelező egyenese olyan pontok halmaza a síkban amelyek távolsága \overline{AB} és \overline{AC} egyenesektől megegyezik.

Hirdetés

Ha felveszünk egy tetszőleges pontot a e szögfelező egyenesen, akkor ennek a pontnak a távolsága az \overline{AC} egyenestől megegyezik a pont és az \overline{AB} egyenestől való távolságával.

e és f egyenesek metszéspontja O_1, így definíció szerint ez a pont egyenló távolságra lesz mind az \overline{AC}, és mind a \overline{AB} oldalaktól

(1)   \begin{equation*} d(O_1, AC) = d(O_1,AB) \end{equation*}

O_1 pont rajta van az f egyenesen is, mivel f egyenes definíció szerint olyan pontok halmaza a síkon, amelyek az \overline{AB} és \overline{BC} egyenesekre vannak egyenlő távolságra, tehát teljesülni fog

(2)   \begin{equation*} d(O_1, AB) = d(O_1,BC) \end{equation*}

Összehasonlítva a két egyenletet láthatjuk, hogy

(3)   \begin{equation*} d(O_1, AC) = d(O_1,BC) \end{equation*}

Tehát az O_1 pont egyenlő távolságra van az \overline{AC} és \overline{BC} oldaltól is. Az ilyen pontok halmaza a síkon, melyek egyenlő távol vannak az \overline{AC} és \overline{BC} egyenesektől, azok éppen a \gamma szög szögfelező egyenesén vannak, azaz a g egyenesen. Tehát szükségképpen az O_1 pontnak rajta kell lennie a g egyenesen, hogy ez az összefüggés teljesülhessen. Így,

Hirdetés

(4)   \begin{equation*} O_1 \in  g \end{equation*}

Ezzel azt igazoltuk, hogy e és f metszéspontja rajta van a g egyenesen is. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a három egyenes egy közös ponton megy át.

Háromszög beírható körének középpontja

Az O középpont egyenlő távolságra van mindhárom oldalegyenestől, mert igaz az (1), (2) és (3) összefüggés.

Tehát, ha O középpontból kört rajzolunk az O pont és az \overline{AC} oldal közti szakaszhosszal, akkor az a kör a háromszög mindhárom oldalát érinti.

Ezzel igazoltuk a a beírható kör definícióját, azaz ez egy olyan kör ami egy háromszög belsejében fekszik és érinti a háromszög mindhárom oldalát.

Ezzel igazoltuk, hogy a három egyenes metszéspontja a beírható kör középpontja.


Iratkozz fel hírlevelünkre

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!

Sikeres feliratkozás

Valami hiba történt!