Háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, beírható kör – Videó bizonyítás
Bebizonyítjuk, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást és ez a pont a háromszög beírható körének a középpontja.
Rajzoljunk egy általános háromszöget és rajzoljuk be a szögfelező egyeneseket. Jelöljük el a kapott szögeket is az ábra szerint.
Azt kívánjuk igazolni, hogy mindegyik egyenes ugyanazon a ponton megy át.
Szögfelező egyenes definíció szerint, ha adott egy szögszár, jelen esetben az 
szögszár teszi ki az 
és 
egyeneseket. Ennek a szögnek a szögfelező egyenese olyan pontok halmaza a síkban amelyek távolsága és egyenesektől megegyezik.
Ha felveszünk egy tetszőleges pontot a 
szögfelező egyenesen, akkor ennek a pontnak a távolsága az egyenestől megegyezik a pont és az egyenestől való távolságával.
és 
egyenesek metszéspontja 
, így definíció szerint ez a pont egyenló távolságra lesz mind az , és mind a oldalaktól
(1) 
pont rajta van az egyenesen is, mivel egyenes definíció szerint olyan pontok halmaza a síkon, amelyek az és 
egyenesekre vannak egyenlő távolságra, tehát teljesülni fog
(2) 
Összehasonlítva a két egyenletet láthatjuk, hogy
(3) 
Tehát az pont egyenlő távolságra van az és oldaltól is. Az ilyen pontok halmaza a síkon, melyek egyenlő távol vannak az és egyenesektől, azok éppen a 
szög szögfelező egyenesén vannak, azaz a 
egyenesen. Tehát szükségképpen az pontnak rajta kell lennie a egyenesen, hogy ez az összefüggés teljesülhessen. Így,
(4) 
Ezzel azt igazoltuk, hogy és metszéspontja rajta van a egyenesen is. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a három egyenes egy közös ponton megy át.
Háromszög beírható körének középpontja
Az 
középpont egyenlő távolságra van mindhárom oldalegyenestől, mert igaz az 
, 
és 
összefüggés.
Tehát, ha középpontból kört rajzolunk az pont és az oldal közti szakaszhosszal, akkor az a kör a háromszög mindhárom oldalát érinti.
Ezzel igazoltuk a a beírható kör definícióját, azaz ez egy olyan kör ami egy háromszög belsejében fekszik és érinti a háromszög mindhárom oldalát.
Ezzel igazoltuk, hogy a három egyenes metszéspontja a beírható kör középpontja.
