Háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, beírható kör – Videó bizonyítás
Bebizonyítjuk, hogy a háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást és ez a pont a háromszög beírható körének a középpontja.
Rajzoljunk egy általános háromszöget és rajzoljuk be a szögfelező egyeneseket. Jelöljük el a kapott szögeket is az ábra szerint.
Azt kívánjuk igazolni, hogy mindegyik egyenes ugyanazon a ponton megy át.
Szögfelező egyenes definíció szerint, ha adott egy szögszár, jelen esetben az szögszár teszi ki az
és
egyeneseket. Ennek a szögnek a szögfelező egyenese olyan pontok halmaza a síkban amelyek távolsága
és
egyenesektől megegyezik.
Ha felveszünk egy tetszőleges pontot a szögfelező egyenesen, akkor ennek a pontnak a távolsága az
egyenestől megegyezik a pont és az
egyenestől való távolságával.
és
egyenesek metszéspontja
, így definíció szerint ez a pont egyenló távolságra lesz mind az
, és mind a
oldalaktól
(1)
pont rajta van az
egyenesen is, mivel
egyenes definíció szerint olyan pontok halmaza a síkon, amelyek az
és
egyenesekre vannak egyenlő távolságra, tehát teljesülni fog
(2)
Összehasonlítva a két egyenletet láthatjuk, hogy
(3)
Tehát az pont egyenlő távolságra van az
és
oldaltól is. Az ilyen pontok halmaza a síkon, melyek egyenlő távol vannak az
és
egyenesektől, azok éppen a
szög szögfelező egyenesén vannak, azaz a
egyenesen. Tehát szükségképpen az
pontnak rajta kell lennie a
egyenesen, hogy ez az összefüggés teljesülhessen. Így,
(4)
Ezzel azt igazoltuk, hogy és
metszéspontja rajta van a
egyenesen is. Ezzel bebizonyítottuk, hogy a három egyenes egy közös ponton megy át.
Háromszög beírható körének középpontja
Az középpont egyenlő távolságra van mindhárom oldalegyenestől, mert igaz az
,
és
összefüggés.
Tehát, ha középpontból kört rajzolunk az
pont és az
oldal közti szakaszhosszal, akkor az a kör a háromszög mindhárom oldalát érinti.
Ezzel igazoltuk a a beírható kör definícióját, azaz ez egy olyan kör ami egy háromszög belsejében fekszik és érinti a háromszög mindhárom oldalát.
Ezzel igazoltuk, hogy a három egyenes metszéspontja a beírható kör középpontja.