Hirdetés

Hogyan származtatjuk a hengert, a hasábot, a gúlát és a kúpot?

A sokszög lapokkal határolt konvex testek a poliéderek.

Egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a görbevonal síkjával nem párhuzamos egyenessel. Így egy végtelen hengerfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a görbevonal síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy véges testet határolunk el. Az így nyert véges test a henger. Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a henger egyenes, egyébként ferde. Ha a síkbeli zárt görbe vonal kör, akkor körhengerről beszélünk [gyakori előfordulása miatt többnyire csak hengert mondunk]. A körlapok középpontjait összekötő egyenes a henger tengelye. Az egyenes körhenger egyenlő oldal, ha a tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, alapsíkra merőleges síkmetszet] négyzet.

Hirdetés

Elnevezések:
A metsző síkokban elhelyezkedő lapok a henger alaplapjai, az összekötő görbefelület a henger palástja. A henger származtatásakor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a henger alkotói. A párhuzamos síkok távolsága a henger magassága.

Egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül párhuzamosokat húzunk egy a sokszög síkjával nem párhuzamos egyenessel. Így egy végtelen hasábfelületet kapunk. Ha ezt elmetszük a sokszög síkjával és egy vele párhuzamos síkkal, akkor két végtelen térrészt és köztük egy poliédert kapunk. Az így kapott poliéder a hasáb.

Ha a metsző síkok merőlegesek az adott egyenesre, a hasáb egyenes, egyébként ferde. Ha a hasáb egyenes, és a síkbeli sokszögvonal szabályos, akkor szabályos hasábról beszélünk. A szabályos sokszögek középpontjait összekötő egyenes a hasáb tengelye. A paralelopipedon olyan hasáb, ahol a kiinduló sokszögvonal paralelogramma.

Elnevezések:
A metsző síkban elhelyezkedő lapok az alaplapok, a többi lap a hasáb oldallapja. Az oldallapok paralelogrammák, ezek alkotják a hasáb palástját. A származtatáskor húzott párhuzamosoknak a metsző síkok közé eső darabjai a hasáb alkotói. Az alaplapok oldalai az alapélek, a többi éle a hasáb oldaléle. A párhuzamos síkok távolsága a hasáb magassága. A téglalap alap egyenes hasáb a téglatest; a kocka olyan téglatest, amelynek minden éle egyenlő.

Hirdetés

A hasábot és a hengert – hasonló származtatásuk miatt hengerszerű testeknek nevezzük.

Ha egy síkbeli sokszög vonal pontjain keresztül egy – a sokszög síkjára nem illeszkedő – rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor végtelen kettőskúp szerű felületet kapunk. Ez a felület a sokszögvonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egyetlen véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a gúla.

A sokszög a gúla alaplapja, a többi lap a gúla oldallapja. A gúla oldallapjai háromszögek, amelyek közös csúcsa a gúla csúcsa, ami a rögzített pont. Az oldallapok alkotják a gúla palástját. A gúla alaplapjának oldalai az alapélek, a többi él oldalél. Az egyenes gúla oldalélei egyenlők. Ha az egyenes gúla alaplapja szabályos, akkor a gúla szabályos: oldallapjai egybevágó egyenlő szár háromszögek. Ha egy három oldal gúla [tetraéder] lapjai egybevágó szabályos háromszögek, akkor szabályos tetraéderről beszélünk. Ez a létező 5 féle szabályos poliéder egyike.

Ha egy zárt síkbeli görbe vonal pontjain keresztül egy – a görbe vonal síkjára nem illeszkedő – rögzített ponton át egyeneseket húzunk, akkor egy végtelen, kettős kúpfelületet kapunk. Ez a felület a görbe vonal síkjával és a rögzített ponttal együtt több végtelen és egy véges térrészt határol el. Az így nyert véges térrész a kúp.

A rögzített pont a kúp csúcsa. A zárt görbevonal által határolt síkidom a kúp alaplapja. A kúp csúcsát az alaplap kerületi pontjaival összekötő szakaszok a kúp alkotói. A kúp csúcsa és az alaplap síkja közötti távolság a kúp magassága. A kúp csúcsát az alaplappal összekötő görbe felület a kp palástja. Ha a kp alaplapja kör, akkor a kp körkp. [Ha kpról beszélünk, többnyire körkpra gondolunk.] A körkúp csúcsát a kör középpontjával összekötő egyenes a kúp tengelye. A kúp egyenes, ha a tengelye merőleges a kör síkjára. Ez forgáskúp. Az egyenes kúp alkotói egyenlők, tengelymetszete [a tengelyre illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkmetszet] egyenlő szárú háromszög. A kúp egyenlő oldal, ha tengelymetszete szabályos háromszög. A poliéderek térfogatának meghatározása a térfogat 4 tulajdonságán alapszik:

A.
A térfogat pozitív szám.

B.
Egybevágó poliéderek térfogata egyenlő.

C.
Ha egy poliédert két poliéderre darabolunk, a kapott poliéderek térfogatának összege az eredeti poliéder térfogatával egyenlő.

D.
Az egységnyi élű kocka térfogata 1.

A különböző poliéderek térfogatának meghatározása több lépésben történik.

A téglatest térfogatát az egységkocka térfogatával hasonlítjuk össze. A többi poliéder térfogatának meghatározásakor felhasználjuk a térfogat tulajdonságait, a már ismert térfogatképleteket. Gyakran a felbontás vagy átdarabolás van segítségünkre. A gúla térfogatát a kétoldali közelítés módszerével határozzuk meg; a görbe felületekkel határolt testek térfogatát pedig a “minden határon túl finomodó kétoldali közelítés” módszerével.

Hirdetés


Ady Endre (26) Angol (29) angol nyelvtan (35) Arany János (18) Atom (20) egyenes (25) elemzés (139) ember (23) energia (26) Filozófia (37) függvény (25) gazdaság (34) halmaz (24) háromszög (25) hőmérséklet (32) líra (22) magyar (22) magyar irodalom (289) Magyarország (38) magyar történelem (102) Matematika (25) Nyelvtan (43) PC (60) Petőfi Sándor (20) politika (24) párhuzamos (18) szerves (32) szervetlen (31) számok (27) számítógép (60) szög (25) tartalom (18) test (28) tétel (18) Történelem (21) USA (18) valós (19) vektor (18) vers (50) verselemzés (47) világirodalom (111) világtörténelem (115) víz (22) életrajz (21) érettségi (34)
Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!