32. Igazolja, hogy a háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobboldal van, és fordítva.

A. A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.

B. A tétel első része: Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.

35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást.

Legyen az ABC háromszög A-B oldalának felezőmerőlegese e. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A B-C oldal felezőmerőlegese F. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel A-B és B-C metszik egymást, a felezőmerőlegeseik e és F metszik egymást [mert metsző egyenesekre merőlegesek]. Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is. Tehát M rajta van az A-C oldal felezőmerőlegesén. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

hirdetés

A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög három csúcsától egyenlő távolságra van. így ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

36. Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást!

Legyen az ABC háromszög alfa szögének szögfelezője F-alfa. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van a b és a c oldaltól. A béta szög szögfelezője F-béta. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van az a oldaltól és a c oldaltól. Az Falfa és az Fbéta szögfelezők a háromszög belsejében metszik egymást, a metszéspont N, amely egyenlő távolságra van btől és ctől, és atól és ctől is, vagyis mindhárom oldaltól. Eszerint egyenlő távol van atól és btől is, tehát rajta van a epszilon szög szögfelezőjén is [kihasználjuk, hogy N a háromszög belsejében van]. A három belső szögfelező egyetlen kötös pontja az N, az ABC háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja.

hirdetés

37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást!

A háromszög magasságvonala a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges. Egy háromszögnek három magasságvonala van. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a háromszög magasságpontjában metszik egymást.

38. Igazolja Thálész tételét, és a tétel megfordítását!

Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk.

A tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, az átfogó a kör átmérője.

55. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást!

Egy háromszög slyvonala a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. A háromszögnek 3 súly vonala van. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a súlyvonalakat kettő egy arányban úgy osztja két részre, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felöl van.

56. Bizonyítsa be a Pitagoras-tételt, és a tétel megfordítását.

Pitagoras tétele: A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzetek területével. Algebrai alakban: A^2 +b^2 =c^2, ahol a és b a derékszögü háromszög két befogója és c az átfogója.

hirdetés

A Pitagoras tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő.

A Pitagoras tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

58. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja!

A háromszög b cscsából induló szögfelező a szemközti oldalt kétrészre osztja. Jelöljük ezeket b1-gyel és b2-vel. A tétel állítása szerint: b1/b2=a/c.

63. Bizonyítsa be, hogy a derékszögü háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.

A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.