Vektorok, vektorok alkalmazása a koordinátageometriában.

5 perc olvasás

Alapfogalmak

Vektor: Az irányított szakaszokat vektornak nevezzük. Jelölése: $\vec{AB}$ .
Vektor abszolút értéke: A vektor hosszát a vektor abszolút értékének (vagy más néven nagyságának) nevezzük. $\left | \vec{a} \right |$
Egyálású v. párhuzamos vektorok: Azok a vektorok, melyekhez található egy olyan egyenes, mely mindkettővel párhuzamos.
Egyenlő: Két vektort akkor tekintünk egyenlőnek, ha egyálásúak valamint irányuk és nagyságuk megegyezik.
Ellentett: Két vektor egymás ellentetje, ha egyálásúak, abszolút értékük egyenlő és irányuk ellentétes. Az $\vec{a}$ és a $-\vec{a}$ , valamint az $\vec{AB}$ és $\vec{BA}$ vektorok egymás ellentettjei.
Nullvektor: Olyan vektor, melynek a hossza 0. Ennek a vektornak az iránya megállapodás szerint tetszőleges. Jelölése: 0

Hirdetés

Műveletek vektorokkal

Vektorok összeadása

Def.: Legyen adott egy $\vec{a}$ és egy $\vec{b}$ vektor. Ha az $\vec{a}$ végpontjához helyezzük a $\vec{b}$ vektor kezdőpontját, akkor az $\vec{a}$ kezdőpontjából a $\vec{b}$ végpontjába mutató vektort $\vec{a}$ és $\vec{b}$ összegének nevezzük. Jelölése: $\vec{a}+\vec{b}$

Tulajdonságai:

Bizonyíthatók a következő azonosságok:

$\vec{a}+\vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ (azaz a vektorok összeadása kommutatív)
$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c} = \vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$ (azaz a vektorok összeadása asszociatív)
$\vec{a}+0=\vec{a}$
$\vec{a} + -\vec{a} = 0$

Vektorok különbsége

Def.: $\vec{a}$ és $\vec{b}$ különbségén a $\vec{a} + (-\vec{b})$ összeget értjük, amit így szoktunk jelölni: $\vec{a} -\vec{b}$

Vektor szorzása számmal

Def.:

Az vektor Î» valós számmal való szorzatán azt a vektort értjük, melynek abszolút értéke , iránya pedig
- Î»>0 esetén $\vec{a}$ -val azonos,
- Î»<0 esetén $\vec{a}$ -val ellentétes,
- Î»=0 esetén tetszőleges.
A nullvektor szorzata önmaga.

Tulajdonságai:

Bizonyítható, hogy

$\lambda(\mu \vec{a}) = (\lambda \mu) \vec{a}$
$(\lambda + \mu) \vec{a} = \lambda \vec{a} + \mu \vec{a}$
$\lambda(\vec{a}+\vec{b}) = \lambda \vec{a} + \lambda \vec{b}$

Az első kettő a definícióbol következik, a harmadik pedig középpontos hasonlósággal bizonyítható.

Hirdetés

Koordinátageometria

Tétel: Ha adott két nem egyálású vektor $\vec{u}$ és $\vec{v}$ , akkor bármelyik velük egysíkú vektor felírható $\lambda\vec{u} + \mu\vec{v}$ alakban. Ez a felírás egyértelmű.

Jelöljünk ki a síkon egy O origót. Az előbbi tétel szerint bármely síkbeli $\vec{OP}$ felírható két nem egyálású $\vec{u}$ és $\vec{v}$ vektor lineáris kombinációjaként egyértelműen. Legyen az így felírt alak: $\lambda x\vec{u} + y\vec{v}$ . Ekkor az (x,y) rendezett számpárt a vektor koordinátáinak nevezzük. Az O pontot, valamint az $\vec{u}$ és $\vec{v}$ vektort együtt bázisnak nevezzük.

Ha a két bázisvektor merőleges egymásra, akkor derékszögű-koordinátarendszert állítják elő. Ez esetben szokás őket i-vel és j-vel jelölni.

Skaláris szorzás

Def.: Két egymással Ï† szöget bezáró vektor skaláris szorzata
$\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | | \vec{b} | cos \varphi$

Tulajdonságai:

Bizonyítható, hogy a skaláris szorzásra fennálnak a következő összefüggések:

Hirdetés

$\vec{a}\vec{b}=\vec{b}\vec{a}$ (azaz a skaláris szorzás kommutatív)
$(\lambda \vec{a}) \vec{b}=\vec{a} (\lambda \vec{b})=\lambda (\vec{a} \vec{b})$
$(\vec{a}+\vec{b})\vec{c} = \vec{a}\vec{c}+\vec{b}\vec{c}$
$\vec{c}(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\vec{a}+\vec{c}\vec{b}$ (azaz a skaláris szorzás disztributív)

Az asszociativitás nem értelmezhető a skaláris szorzásra.

Tétel: Két vektor skaláris szorzata akkor és csakis akkor 0, ha merőlegesek egymásra.

Tétel: Ha adott két vektor koordinátáival együtt $\vec{a}(x_1;y_1)$ illetve $\vec{b}(x_2;y_2)$ , akkor a skaláris szorzatuk:
$\vec{a}\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

A skaláris szorzás segítségével bizonyítható a koszinusztétel.

Hirdetés

Alkalmazások

A fizikában rengeteg mennyiséget (elmozdulás, sebesség, gyorsulás, erő stb.) vektorként definiálnak.
Számtalan geometriai probléma megoldható az itt leírtak segítségével:
- Szakasz osztópontjainak meghatározása
- Koszinusz tétel-bizonyítása
- Geometriai szélsőértékproblémák