Skaláris szorzat kiszámítása koordinátákkal
A következőkben megmutatjuk, hogyan lehet két vektor skalárszorzatát kiszámítani a derékszögű koordinátáik segítségével.
Legyen és a két megadott vektor a derékszögű koordinátarendszerben, továbbá és a két bázisvektor.
Írjuk fel az és vektorokat a két bázisvektor lineáris kombinációjaként; a bázisvektorok definíciója szerint az együtthatók éppen a vektorok koordinátái lesznek:
A két vektor skaláris szorzatát tehát az alábbi formába is írhatjuk:
Most kihasználjuk a skaláris szorzatnak azt az ismert tulajdonságát, hogy disztributív, ami azt jelenti, hogy a zárójelek a hagyományos szorzás szabályai szerint felbonthatók:
Egy vektor önmagával vett skalárszorzata éppen a vektor hosszának a négyzete. A bázisvektorok hossza ezért
Azt is tudjuk viszont, hogy egymásra merőleges vektorok skaláris szorzata mindig A két bázisvektor egymásra merőleges, ezért
A kapott összefüggéseket felhasználva:
A két vektor skaláris szorzata tehát
Ezzel bebizonyítottuk, hogy a derékszögű koordinátarendszerben két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével egyenlő.