Hirdetés

Skaláris szorzat kiszámítása koordinátákkal

3 perc olvasás

A következőkben megmutatjuk, hogyan lehet két vektor skalárszorzatát kiszámítani a derékszögű koordinátáik segítségével.

Legyen \vec{u}(u_1,u_2) és \vec{v}(v_1,v_2) a két megadott vektor a derékszögű koordinátarendszerben, továbbá \vec{i}(1,0) és \vec{j}(0,1) a két bázisvektor.

Írjuk fel az \vec{u} és \vec{v} vektorokat a két bázisvektor lineáris kombinációjaként; a bázisvektorok definíciója szerint az együtthatók éppen a vektorok koordinátái lesznek:

Hirdetés

    \[\vec{u} = u_1\vec{i} + u_2\vec{j}\]

    \[\vec{v} = v_1\vec{i} + v_2\vec{j}\]

A két vektor skaláris szorzatát tehát az alábbi formába is írhatjuk:

    \[\vec{u} \cdot \vec{v} =  (u_1\vec{i} + u_2\vec{j}) \cdot (v_1\vec{i} + v_2\vec{j}).\]

Most kihasználjuk a skaláris szorzatnak azt az ismert tulajdonságát, hogy disztributív, ami azt jelenti, hogy a zárójelek a hagyományos szorzás szabályai szerint felbonthatók:

    \[(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}) \cdot (v_1\vec{i} + v_2\vec{j}) = (u_1\vec{i})\cdot(v_1\vec{i}) + (u_1\vec{i})\cdot(v_2\vec{j}) + (u_2\vec{j}) \cdot (v_1\vec{i}) + (u_2\vec{j}) \cdot (v_2\vec{j}) =\]

    \[= u_1v_1(\vec{i}\cdot \vec{i}) + u_1v_2(\vec{i}\cdot \vec{j}) + u_2v_1(\vec{j}\cdot \vec{i}) + u_2v_2(\vec{j}\cdot \vec{j})\]

Egy vektor önmagával vett skalárszorzata éppen a vektor hosszának a négyzete. A bázisvektorok hossza 1, ezért

    \[\vec{i}\cdot \vec{i} = \vec{j}\cdot \vec{j} = 1.\]

Azt is tudjuk viszont, hogy egymásra merőleges vektorok skaláris szorzata mindig 0. A két bázisvektor egymásra merőleges, ezért

    \[\vec{i}\cdot \vec{j} = \vec{j}\cdot \vec{i} = 0.\]

A kapott összefüggéseket felhasználva:

    \[u_1v_1(\vec{i}\cdot \vec{i}) + u_1v_2(\vec{i}\cdot \vec{j}) + u_2v_1(\vec{j}\cdot \vec{i}) + u_2v_2(\vec{j}\cdot \vec{j}) =\]

    \[= u_1v_1\cdot 1 + u_1v_2\cdot 0 + u_2v_1\cdot 0+ u_2v_2\cdot 1 = u_1v_1 + u_2v_2.\]

A két vektor skaláris szorzata tehát

    \[\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2.\]

Ezzel bebizonyítottuk, hogy a derékszögű koordinátarendszerben két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével egyenlő.


Iratkozz fel hírlevelünkre

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!

Sikeres feliratkozás

Valami hiba történt!