Másodfokú egyenlet megoldóképlete, diszkrimináns, Viéte-formulák
Állítás: Legyen adott egy alakú másodfokú egyenlet, ahol az együtthatók valós számok, továbbá
Ekkor az egyenlet gyökei (ha értelmezve vannak)
Bizonyítás:
Osszuk el mindkét oldalt a-val (ami nem nulla):
Vegyük észre, hogy tehát
Ezt az egyenletünkbe beírva:
Közös nevezőre hozva:
Szorzattá szeretnénk alakítani ezt a kifejezést, felhasználva az nevezetes azonosságot.
Ha azaz
akkor a kivonandó számnak nincs négyzetgyöke, nem tudjuk alkalmas b számmal
alakra hozni, tehát a kifejezés nem lesz szorzattá alakítható. Ilyen esetben az egyenletnek nincs gyöke.
Ha akkor
ami csak
esetén lehetséges. Ekkor az egyenletnek csupán ez az egy megoldása van. Gyakran mondjuk azt ilyenkor, hogy az egyenletnek kétszeres gyöke az
.
Végül ha akkor a kifejezés szorzattá alakítható:
A szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0. Egybekötve a két esetet:
Ha akkor ez két különböző valós gyök lesz.
Összefoglalva eredményeinket azt kaptuk, hogy ha a kifejezés negatív, akkor nincs gyök; ha nulla, akkor pontosan egy gyök van; illetve ha pozitív, akkor pontosan két különböző gyök van. A
kifejezést a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük. A diszkrimináns előjele dönti el, hány megoldása lesz az egyenletünknek.
Most tegyük fel, hogy az másodfokú egyenletnek
és
(nem feltétlenül különböző) két gyöke. A polinomokra vonatkozó gyöktényezős alakot felírva (lásd. egyváltozós polinomok c. tétel):
Két polinom akkor és csak akkor lehet egyenlő, ha minden együtthatójuk egyenként megegyezik. Innen egyrészt azaz
másrészt
azaz
Ezzel hasznos összefüggéseket kaptunk a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. A kapott egyenlőségeket Viéte-formuláknak nevezzük. (Megj.: a kapott összefüggések a megoldóképletben szereplő két kifejezés összegéből, illetve szorzatából is származtathatóak.)