Állítás: Legyen adott egy ax^2+bx+c=0 alakú másodfokú egyenlet, ahol az együtthatók valós számok, továbbá a \neq 0. Ekkor az egyenlet gyökei (ha értelmezve vannak) x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Bizonyítás:

ax^2+bx+c = 0

Osszuk el mindkét oldalt a-val (ami nem nulla):

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0

Vegyük észre, hogy (x+\frac{b}{2a})^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}, tehát

x^2 + \frac{b}{a}x = (x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}.

Ezt az egyenletünkbe beírva:

(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0

Közös nevezőre hozva:

(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0

Szorzattá szeretnénk alakítani ezt a kifejezést, felhasználva az a^2-b^2 = (a+b)(a-b) nevezetes azonosságot.

Ha \frac{b^2-4ac}{4a^2} < 0, azaz b^2-4ac < 0, akkor a kivonandó számnak nincs négyzetgyöke, nem tudjuk alkalmas b számmal b^2 alakra hozni, tehát a kifejezés nem lesz szorzattá alakítható. Ilyen esetben az egyenletnek nincs gyöke.

Ha \frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0, akkor (x+\frac{b}{2a})^2 = 0, ami csak x = -\frac{b}{2a} esetén lehetséges. Ekkor az egyenletnek csupán ez az egy megoldása van. Gyakran mondjuk azt ilyenkor, hogy az egyenletnek kétszeres gyöke az x = -\frac{b}{2a} .

Végül ha \frac{b^2-4ac}{4a^2} > 0, akkor a kifejezés szorzattá alakítható:

(x+\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}})(x+\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}) = 0

A szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0. Egybekötve a két esetet:

x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Ha b^2-4ac > 0, akkor ez két különböző valós gyök lesz.

Összefoglalva eredményeinket azt kaptuk, hogy ha a b^2-4ac kifejezés negatív, akkor nincs gyök; ha nulla, akkor pontosan egy gyök van; illetve ha pozitív, akkor pontosan két különböző gyök van. A b^2-4ac kifejezést a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük. A diszkrimináns előjele dönti el, hány megoldása lesz az egyenletünknek.

 

Most tegyük fel, hogy az ax^2+bx+c = 0 másodfokú egyenletnek x_1 és x_2 (nem feltétlenül különböző) két gyöke. A polinomokra vonatkozó gyöktényezős alakot felírva (lásd. egyváltozós polinomok c. tétel):

ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)

ax^2+bx+c = ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2

Két polinom akkor és csak akkor lehet egyenlő, ha minden együtthatójuk egyenként megegyezik. Innen egyrészt b = -a(x_1+x_2), azaz x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, másrészt c =ax_1x_2, azaz x_1x_2 = \frac{c}{a}. Ezzel hasznos összefüggéseket kaptunk a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. A kapott egyenlőségeket Viéte-formuláknak nevezzük. (Megj.: a kapott összefüggések a megoldóképletben szereplő két kifejezés összegéből, illetve szorzatából is származtathatóak.)

 

Videó jegyzetek

Pitagorasz tétel és megfordítása – Videó bizonyítás
Thalész tétel és megfordítása – Videó bizonyítás
A négyzetgyök kettő irracionális szám – Videó bizonyítás
Címkék: , , , , ,