Hirdetés

Másodfokú egyenlet megoldóképlete, diszkrimináns, Viéte-formulák

Állítás: Legyen adott egy  ax^2+bx+c=0 alakú másodfokú egyenlet, ahol az együtthatók valós számok, továbbá  a \neq 0. Ekkor az egyenlet gyökei (ha értelmezve vannak)  x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Hirdetés

Bizonyítás:

 ax^2+bx+c = 0

Osszuk el mindkét oldalt a-val (ami nem nulla):

 x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0

Vegyük észre, hogy  (x+\frac{b}{2a})^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}, tehát

 x^2 + \frac{b}{a}x = (x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}.

Ezt az egyenletünkbe beírva:

 (x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0

Közös nevezőre hozva:

 (x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0

Szorzattá szeretnénk alakítani ezt a kifejezést, felhasználva az  a^2-b^2 = (a+b)(a-b) nevezetes azonosságot.

Ha  \frac{b^2-4ac}{4a^2} < 0, azaz  b^2-4ac < 0, akkor a kivonandó számnak nincs négyzetgyöke, nem tudjuk alkalmas b számmal  b^2 alakra hozni, tehát a kifejezés nem lesz szorzattá alakítható. Ilyen esetben az egyenletnek nincs gyöke.

Ha  \frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0, akkor  (x+\frac{b}{2a})^2 = 0, ami csak  x = -\frac{b}{2a} esetén lehetséges. Ekkor az egyenletnek csupán ez az egy megoldása van. Gyakran mondjuk azt ilyenkor, hogy az egyenletnek kétszeres gyöke az  x = -\frac{b}{2a} .

Végül ha  \frac{b^2-4ac}{4a^2} > 0, akkor a kifejezés szorzattá alakítható:

 (x+\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}})(x+\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}) = 0

A szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0. Egybekötve a két esetet:

 x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}

 x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.

Ha  b^2-4ac > 0, akkor ez két különböző valós gyök lesz.

Összefoglalva eredményeinket azt kaptuk, hogy ha a  b^2-4ac kifejezés negatív, akkor nincs gyök; ha nulla, akkor pontosan egy gyök van; illetve ha pozitív, akkor pontosan két különböző gyök van. A  b^2-4ac kifejezést a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük. A diszkrimináns előjele dönti el, hány megoldása lesz az egyenletünknek.

 

Most tegyük fel, hogy az  ax^2+bx+c = 0 másodfokú egyenletnek  x_1 és  x_2 (nem feltétlenül különböző) két gyöke. A polinomokra vonatkozó gyöktényezős alakot felírva (lásd. egyváltozós polinomok c. tétel):

 ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)

 ax^2+bx+c = ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2

Két polinom akkor és csak akkor lehet egyenlő, ha minden együtthatójuk egyenként megegyezik. Innen egyrészt  b = -a(x_1+x_2), azaz  x_1+x_2 = -\frac{b}{a}, másrészt  c =ax_1x_2, azaz  x_1x_2 = \frac{c}{a}. Ezzel hasznos összefüggéseket kaptunk a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. A kapott egyenlőségeket Viéte-formuláknak nevezzük. (Megj.: a kapott összefüggések a megoldóképletben szereplő két kifejezés összegéből, illetve szorzatából is származtathatóak.)

 



Ady Endre (26) Angol (29) angol nyelvtan (35) Arany János (18) Atom (20) egyenes (25) elemzés (139) ember (23) energia (26) Filozófia (37) függvény (25) gazdaság (34) halmaz (24) háromszög (25) hőmérséklet (32) líra (22) magyar (22) magyar irodalom (289) Magyarország (38) magyar történelem (102) Matematika (25) Nyelvtan (43) PC (60) Petőfi Sándor (20) politika (24) párhuzamos (18) szerves (32) szervetlen (31) számok (27) számítógép (60) szög (25) tartalom (18) test (28) tétel (18) Történelem (21) USA (18) valós (19) vektor (18) vers (50) verselemzés (47) világirodalom (111) világtörténelem (115) víz (22) életrajz (21) érettségi (34)
Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!