Másodfokú egyenlet megoldóképlete, diszkrimináns, Viéte-formulák

Állítás: Legyen adott egy $ax^2+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet, ahol az együtthatók valós számok, továbbá $a \neq 0.$ Ekkor az egyenlet gyökei (ha értelmezve vannak) $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Hirdetés

Bizonyítás:

$ax^2+bx+c = 0$

Osszuk el mindkét oldalt a-val (ami nem nulla):

$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a} = 0$

Vegyük észre, hogy $(x+\frac{b}{2a})^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2},$ tehát

$x^2 + \frac{b}{a}x = (x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}.$

Ezt az egyenletünkbe beírva:

$(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0$

Közös nevezőre hozva:

$(x+\frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0$

Szorzattá szeretnénk alakítani ezt a kifejezést, felhasználva az $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ nevezetes azonosságot.

Ha $\frac{b^2-4ac}{4a^2} < 0,$ azaz $b^2-4ac < 0,$ akkor a kivonandó számnak nincs négyzetgyöke, nem tudjuk alkalmas b számmal $b^2$ alakra hozni, tehát a kifejezés nem lesz szorzattá alakítható. Ilyen esetben az egyenletnek nincs gyöke.

Ha $\frac{b^2-4ac}{4a^2} = 0,$ akkor $(x+\frac{b}{2a})^2 = 0,$ ami csak $x = -\frac{b}{2a}$ esetén lehetséges. Ekkor az egyenletnek csupán ez az egy megoldása van. Gyakran mondjuk azt ilyenkor, hogy az egyenletnek kétszeres gyöke az $x = -\frac{b}{2a}$ .

Végül ha $\frac{b^2-4ac}{4a^2} > 0,$ akkor a kifejezés szorzattá alakítható:

$(x+\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}})(x+\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}) = 0$

A szorzat pontosan akkor 0, ha az egyik tényezője 0. Egybekötve a két esetet:

$x+\frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

$x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$

Ha $b^2-4ac > 0,$ akkor ez két különböző valós gyök lesz.

Összefoglalva eredményeinket azt kaptuk, hogy ha a $b^2-4ac$ kifejezés negatív, akkor nincs gyök; ha nulla, akkor pontosan egy gyök van; illetve ha pozitív, akkor pontosan két különböző gyök van. A $b^2-4ac$ kifejezést a másodfokú egyenlet diszkriminánsának nevezzük. A diszkrimináns előjele dönti el, hány megoldása lesz az egyenletünknek.

Most tegyük fel, hogy az $ax^2+bx+c = 0$ másodfokú egyenletnek $x_1$ és $x_2$ (nem feltétlenül különböző) két gyöke. A polinomokra vonatkozó gyöktényezős alakot felírva (lásd. egyváltozós polinomok c. tétel):

$ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$

$ax^2+bx+c = ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2$

Két polinom akkor és csak akkor lehet egyenlő, ha minden együtthatójuk egyenként megegyezik. Innen egyrészt $b = -a(x_1+x_2),$ azaz $x_1+x_2 = -\frac{b}{a},$ másrészt $c =ax_1x_2,$ azaz $x_1x_2 = \frac{c}{a}.$ Ezzel hasznos összefüggéseket kaptunk a másodfokú egyenlet gyökei és együtthatói között. A kapott egyenlőségeket Viéte-formuláknak nevezzük. (Megj.: a kapott összefüggések a megoldóképletben szereplő két kifejezés összegéből, illetve szorzatából is származtathatóak.)