Gyökfogalom

Gyökfogalom „Melyik az a szám, amelyiknek a négyzete a?” Definíció: √a (négyzetgyök a) az a nemnegatív valós szám, amelynek a négyzete nemnegatív valós a. Műveleti azonosságok:

1. √a∙√b=√(a∙b), ha a≥0 és b≥0
2. √a/√b=√(a/b), ha b≠0
3. (√a)ⁿ=√(aⁿ), ha n egész szám

A definíció következménye, hogy √(a²)=|a|. Általában igaz, hogy: √(a²ⁿ)=aⁿ, ha n páros √(a²ⁿ)=|aⁿ| ha n páratlan A permanencia-elv mellett bővítjük a gyökfogalmat. Definíció: ⁿ√a (n-edik gyök a)-nak nevezzük azt a számot, amit ha az n-edik hatványra emelünk, a-t kapjuk. n 1-nél nagyobb pozitív egész. Ha n páros. Akkor a nemnegatív valós, egyéb esetben a valós szám. Azonosságok:

1. ⁿ√a∙ⁿ√b=ⁿ√(a∙b), a≥0, b≥0
2. ⁿ√a/ⁿ√b=ⁿ√(a/b), a≥,, b>0
3. ⁿ√(a^k)=(ⁿ√a)^k, k egész, a≥0
4. ⁿ√(a^k)=^n∙l√(a^k∙l), a valós szám
5. ⁿ√(^k√a)=^n∙k√a; ha n∙k páros, akkor a≥0, egyébként a valós szám

Definícióból következik, hogy az a szám, amit ha az n-edik hatványra emelünk, akkor a-t kapjuk, ⁿ√a. Ugyanakkor a törthatvány definíciójából következik, hogy a^1/n az a szám, amit ha az n-edik hatványra emelünk, a-t kapjuk. Tehát levonhatjuk a következtetést, hogy az n-edik gyök fogalma ekvivalens az 1/n-edik hatványéval (ⁿ√a≡a^1/n). Általában igaz, hogy a^p/q=(^q√a)^p. A gyökfüggvények ábrázolhatóak. Az f(x)=ⁿ√x függvények (n>1 egész) páros n-re csak a nemnegatív számokon értelmezettek, szigorúan monoton nőnek. Páratlan gyökkitevő esetén az összes valós szám része az értelmezési tartománynak, ezek a függvények páratlanok, szigorúan monoton nőnek és 0-ban inflexiós pontjuk van. Főleg a páratlan kitevőjű gyökfügvényeknél szembeötlő, hogy a gyök- és hatványfüggvények egymás inverzei, vagyis a függő és a független változók felcserélésével egymásba vihetők, tehát az azonos kitevőjű hatvány- és gyökfüggvény képe egymás, az y=x egyenesre vonatkozó tükörképe (természetesen páros kitevő esetén a gyökfüggvény a hatványfüggvénynek csak a pozitív x-ekhez tartozó szárának tükörképe).