Gúla
Milyen összefüggés van a gúla alapterülete és az alappal párhuzamos síkmetszetének területe között? Bizonyítsa be!
A gúla alappal párhuzamos síkmetszetének területe úgy aránylik az alapterülethez, mint ahogy a síkmetszet csúcstól mért távolságának (
) négyzete aránylik a gúla magasságának (
) négyzetéhez.
Bizonyítás:
A két sokszög – az alappal párhuzamos metszésből adódóan – a gúla csúcsára nézve középpontosan hasonló. A hasonlóság aránya megegyezik a gúla alaplapja éleinek és a párhuzamos síkmetszet megfelelő éleinek arányával, ez pedig megegyezik a hozzájuk tartozó gúlák magasságának arányával, (
)-mel. Tudjuk, hogy hasonló idomok területeinek aránya a hasonlósági arány négyzete. Ezért a párhuzamos síkmetszet területe úgy aránylik az alapterülethez, mint a csúcstól számított távolságaik négyzete [a megfelelő gúlák magasságainak négyzete].
Tehát: 
