Trigonometria
Trigonometria
Két síkidom akkor hasonló, ha hasonlósági transzformációkkal átvihetőek egymásba.
Két háromszög akkor hasonló, ha:
oldalaik egyenlőek (ekkor egybevágóak is), vagy ha
két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő, vagy ha
egy oldaluk, és a rajta fekvő két szögük egyenlő, vagy ha
szögeik egyenlőek.
Két derékszögű háromszög hasonló, ha egyenlő az egyik hegyesszögük. Hasonló háromszögek oldalainak aránya páronként egyenlőek. Hasonló derékszögű háromszögek esetén ez az arány kizárólag a szögek függvénye (“szögfüggvények”).
Definíció: derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát a szög szinuszának (sin) nevezzük (reciproka a szekáns). A szög melletti befogó és az átfogó hányadosát a szög koszinuszának (cos) nevezzük (reciproka a koszekáns). A szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát a szög tangensének (tg) nevezzük, reciproka a kotangens (ctg).
Azonosságok:
hegyesszög szinusza a pótszög (90º-ra kiegészítő szög) koszinusza
hegyesszög koszinusza a pótszög szinusza
hegyesszög tangense a pótszög kotangense
hegyesszög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosa
hegyesszög szinusza négyzetének és koszinusza négyzetének az összege 1 (“a trigonometria Pithagorasz-tétele”)
A szögfüggvényeket kiterjesztjük a hegyesszögnél nagyob szögekre. Ezt a permanencia-elv megtartásával tesszük, vagyis új definíciók mellett az azonosságok változatlanok.
Definíció: Adott i,j bázisvektorrendszer (i–ből +90º-os elforgatással megkapjuk j-t). Legyen e egységvektor irányszöge α (|e|=1; i-ből +α fokos elforgatással megkapjuk e-t)! Bontsuk fel e-t i,j bázisvektorrendszerben összetevőire! Ezt megtehetjük a vektorfelbontási tétel értelmében, ami kimondja, hogy síkban minden vektor egyértelműen felbontható két, nem párhuzamos vektorral párhuzamos összetevőkre. Így felbontva e=e1i+e2j, ahol e1 és e2 valós számok. Az α szög koszinuszaként definiáljuk e1-et, és az α szög szinuszaként definiáljuk e2-t.
A 90º-nál nagyobb szögek szögfüggvényeit visszavezetjük a hegyesszögekére:
második síknegyed (90º<α<180º): cosα=-cos(180º-α);
sinα=sin(180º-α)
harmadik síknegyed (180º<α<270º): cosα=-cos(α-180º);
sinα=-sin(α-180º)
negyedik síknegyed (270º<α<360º): cosα=cos(360º-α);
sinα=-sin(360º-α)
Forgásszögek (360º<α) szögfüggvényeit visszavezetjük a 360º-nál kisebb szögek szögfüggvényeire. Ebben az esetben α=α1+k∙360º, k pozitív egész szám, és 0º<α1<360º. Ekkor cosα=cosα1, és sinα=sinα1. Általában kimondható, hogy:
cosα=cos(α+k∙360º);
sinα=sin(α+k∙360º), ahol k egész szám (tehát a szögfüggvények periodikusak).
Negatív szög szögfüggvényei: cos(-α)=cosα; sin(-α)=-sinα
Definíció: egy szög tangensén a szög szinuszának és koszinuszának hányadosát értjük. Egy szög kotangensén a szög koszinuszának és szinuszának hányadosát értjük.
Mindezek mellett megmaradnak az azonosságok.
Minden szög megadható fokok helyett radiánban is. Egy radián egy körben a sugár hosszúságú ívhosszhoz tartozó szög nagysága. Az abszcisszára radiánban felmérve a szögeket ábrázolhatjuk a szögfüggvényeket. Mindegyikük periodikus.
Az f(x)=sin(x) függvény páratlan, 2π-s periódusa van, π egész számú többszöröseiben zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.
Az f(x)=cos(x) függvény páros, 2π-s periódusa van, π/2+kπ (k egész szám) helyeken zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.
Az f(x)=tg(x) függvény páratlan, π-s periódusa van, π egész számú többszöröseiben zérushelye, míg π/2+kπ (k egész szám) helyeken másodfajú szakadása van, ott nem értelmezett (cos(π/2+kπ)=0). Egy perióduson belül szigorúan monoton nő.
A szögfüggvények transzformálhatóak.
Független változó transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumot változtatjuk. Ha a független változóhoz hozzáadunk, vagy kivonunk belőle (f(x)=sin(x±a)), azzal a függvény képét megfelelően az x tengely mentén balra, vagy jobbra toljuk el. Ha konstanssal szorozzuk a független változót, akkor az abszcissza mentén affinitást alkalmazunk a függvény képére (pl. f(x)=sin(2x) képe a sin(x) függvény kétszeresére „összenyomott” képe).
Függvényérték transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumon kívül végzünk műveleteket. f(x)=sin(x)±a az ordinátatengely mentén pozitív, illetve negatív irányba tolja el a függvény képét. f(x)=B∙sin(x) x tengelyhez való affinitást jelöl, 1-nél nagyobb szorzó „nyújtást” okoz.
A transzformációkkal a szinusz- és koszinusz-függvények egymásba vihetők:
– sin(x+π/2)=cos(x)
– cos(x-π/2)=sin(x)
– cos(π/2-x)=sin(x)
sin(x) deriváltja cos(x), cos(x) deriváltja –sin(x), tg(x) deriváltja 1/cos2(x).
Szögfüggvényekhez kapcsolódó tételek:
trigonometrikus területképlet: T=a∙b∙sinγ/2 hegyesszögekre, illetve T=a∙b∙sin(180º-γ)/2 tompaszögekre, ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög.
koszinusz-tétel: c2=a2+b2-2a∙b∙cosγ, illetve tompaszögre c2=a2+b2+2a∙b∙cos(180º-γ), ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög. (γ=90º esetén 2ab∙cosγ=0 c2=a2+b2, ld. még Pithagorasz-tétel)
szinusz-tétel: szokásos jelöléssel a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2∙Rköréírt. Tompaszög esetén a/sin(180º-α)=b/sinβ. Adott a,b,α esetén, β-t keresve: ha a≥b, akkor egy megoldást kapunk, ha a<b, akkor vagy két, vagy nulla megoldás van.
Addíciós tétel: cos(α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ; sin(α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ; tg(α+β)=(tgα+tgβ)/(1-tgα∙tgβ)
Szögfüggvények gyakorlati használata: a fizikában, egyrészt harmonikus rezgőmozgásoknál, másrészt váltóárammal és egymással szöget bezáró erőkkel kapcsolatos problémák megoldására.
