Trigonometria
Trigonometria
Két síkidom akkor hasonló, ha hasonlósági transzformációkkal átvihetőek egymásba.
Két háromszög akkor hasonló, ha:
-
oldalaik egyenlőek (ekkor egybevágóak is), vagy ha
-
két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő, vagy ha
-
egy oldaluk, és a rajta fekvő két szögük egyenlő, vagy ha
-
szögeik egyenlőek.
Két derékszögű háromszög hasonló, ha egyenlő az egyik hegyesszögük. Hasonló háromszögek oldalainak aránya páronként egyenlőek. Hasonló derékszögű háromszögek esetén ez az arány kizárólag a szögek függvénye (“szögfüggvények”).
Definíció: derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát a szög szinuszának (sin) nevezzük (reciproka a szekáns). A szög melletti befogó és az átfogó hányadosát a szög koszinuszának (cos) nevezzük (reciproka a koszekáns). A szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát a szög tangensének (tg) nevezzük, reciproka a kotangens (ctg).
Azonosságok:
-
hegyesszög szinusza a pótszög (90º-ra kiegészítő szög) koszinusza
-
hegyesszög koszinusza a pótszög szinusza
-
hegyesszög tangense a pótszög kotangense
-
hegyesszög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosa
-
hegyesszög szinusza négyzetének és koszinusza négyzetének az összege 1 (“a trigonometria Pithagorasz-tétele”)
A szögfüggvényeket kiterjesztjük a hegyesszögnél nagyob szögekre. Ezt a permanencia-elv megtartásával tesszük, vagyis új definíciók mellett az azonosságok változatlanok.
Definíció: Adott i,j bázisvektorrendszer (i–ből +90º-os elforgatással megkapjuk j-t). Legyen e egységvektor irányszöge α (|e|=1; i-ből +α fokos elforgatással megkapjuk e-t)! Bontsuk fel e-t i,j bázisvektorrendszerben összetevőire! Ezt megtehetjük a vektorfelbontási tétel értelmében, ami kimondja, hogy síkban minden vektor egyértelműen felbontható két, nem párhuzamos vektorral párhuzamos összetevőkre. Így felbontva e=e1i+e2j, ahol e1 és e2 valós számok. Az α szög koszinuszaként definiáljuk e1-et, és az α szög szinuszaként definiáljuk e2-t.
A 90º-nál nagyobb szögek szögfüggvényeit visszavezetjük a hegyesszögekére:
második síknegyed (90º<α<180º): cosα=-cos(180º-α);
sinα=sin(180º-α)
harmadik síknegyed (180º<α<270º): cosα=-cos(α-180º);
sinα=-sin(α-180º)
negyedik síknegyed (270º<α<360º): cosα=cos(360º-α);
sinα=-sin(360º-α)
Forgásszögek (360º<α) szögfüggvényeit visszavezetjük a 360º-nál kisebb szögek szögfüggvényeire. Ebben az esetben α=α1+k∙360º, k pozitív egész szám, és 0º<α1<360º. Ekkor cosα=cosα1, és sinα=sinα1. Általában kimondható, hogy:
cosα=cos(α+k∙360º);
sinα=sin(α+k∙360º), ahol k egész szám (tehát a szögfüggvények periodikusak).
Negatív szög szögfüggvényei: cos(-α)=cosα; sin(-α)=-sinα
Definíció: egy szög tangensén a szög szinuszának és koszinuszának hányadosát értjük. Egy szög kotangensén a szög koszinuszának és szinuszának hányadosát értjük.
Mindezek mellett megmaradnak az azonosságok.
Minden szög megadható fokok helyett radiánban is. Egy radián egy körben a sugár hosszúságú ívhosszhoz tartozó szög nagysága. Az abszcisszára radiánban felmérve a szögeket ábrázolhatjuk a szögfüggvényeket. Mindegyikük periodikus.
Az f(x)=sin(x) függvény páratlan, 2π-s periódusa van, π egész számú többszöröseiben zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.
Az f(x)=cos(x) függvény páros, 2π-s periódusa van, π/2+kπ (k egész szám) helyeken zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.
Az f(x)=tg(x) függvény páratlan, π-s periódusa van, π egész számú többszöröseiben zérushelye, míg π/2+kπ (k egész szám) helyeken másodfajú szakadása van, ott nem értelmezett (cos(π/2+kπ)=0). Egy perióduson belül szigorúan monoton nő.
A szögfüggvények transzformálhatóak.
Független változó transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumot változtatjuk. Ha a független változóhoz hozzáadunk, vagy kivonunk belőle (f(x)=sin(x±a)), azzal a függvény képét megfelelően az x tengely mentén balra, vagy jobbra toljuk el. Ha konstanssal szorozzuk a független változót, akkor az abszcissza mentén affinitást alkalmazunk a függvény képére (pl. f(x)=sin(2x) képe a sin(x) függvény kétszeresére „összenyomott” képe).
Függvényérték transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumon kívül végzünk műveleteket. f(x)=sin(x)±a az ordinátatengely mentén pozitív, illetve negatív irányba tolja el a függvény képét. f(x)=B∙sin(x) x tengelyhez való affinitást jelöl, 1-nél nagyobb szorzó „nyújtást” okoz.
A transzformációkkal a szinusz- és koszinusz-függvények egymásba vihetők:
– sin(x+π/2)=cos(x)
– cos(x-π/2)=sin(x)
– cos(π/2-x)=sin(x)
sin(x) deriváltja cos(x), cos(x) deriváltja –sin(x), tg(x) deriváltja 1/cos2(x).
Szögfüggvényekhez kapcsolódó tételek:
-
trigonometrikus területképlet: T=a∙b∙sinγ/2 hegyesszögekre, illetve T=a∙b∙sin(180º-γ)/2 tompaszögekre, ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög.
-
koszinusz-tétel: c2=a2+b2-2a∙b∙cosγ, illetve tompaszögre c2=a2+b2+2a∙b∙cos(180º-γ), ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög. (γ=90º esetén 2ab∙cosγ=0 c2=a2+b2, ld. még Pithagorasz-tétel)
-
szinusz-tétel: szokásos jelöléssel a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2∙Rköréírt. Tompaszög esetén a/sin(180º-α)=b/sinβ. Adott a,b,α esetén, β-t keresve: ha a≥b, akkor egy megoldást kapunk, ha a<b, akkor vagy két, vagy nulla megoldás van.
-
Addíciós tétel: cos(α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ; sin(α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ; tg(α+β)=(tgα+tgβ)/(1-tgα∙tgβ)
Szögfüggvények gyakorlati használata: a fizikában, egyrészt harmonikus rezgőmozgásoknál, másrészt váltóárammal és egymással szöget bezáró erőkkel kapcsolatos problémák megoldására.