Trigonometria

Trigonometria

Két síkidom akkor hasonló, ha hasonlósági transzformációkkal átvihetőek egymásba.

• oldalaik egyenlőek (ekkor egybevágóak is), vagy ha

• egy oldaluk, és a rajta fekvő két szögük egyenlő, vagy ha

• szögeik egyenlőek.

Definíció: derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát a szög szinuszának (sin) nevezzük (reciproka a szekáns). A szög melletti befogó és az átfogó hányadosát a szög koszinuszának (cos) nevezzük (reciproka a koszekáns). A szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát a szög tangensének (tg) nevezzük, reciproka a kotangens (ctg).

Azonosságok:

• hegyesszög szinusza a pótszög (90º-ra kiegészítő szög) koszinusza
• hegyesszög koszinusza a pótszög szinusza
• hegyesszög tangense a pótszög kotangense
• hegyesszög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosa
• hegyesszög szinusza négyzetének és koszinusza négyzetének az összege 1 (“a trigonometria Pithagorasz-tétele”)

Definíció: Adott i,j bázisvektorrendszer (i–ből +90º-os elforgatással megkapjuk j-t). Legyen e egységvektor irányszöge α (|e|=1; i-ből +α fokos elforgatással megkapjuk e-t)! Bontsuk fel e-t i,j bázisvektorrendszerben összetevőire! Ezt megtehetjük a vektorfelbontási tétel értelmében, ami kimondja, hogy síkban minden vektor egyértelműen felbontható két, nem párhuzamos vektorral párhuzamos összetevőkre. Így felbontva e=e₁i+e₂j, ahol e₁ és e₂ valós számok. Az α szög koszinuszaként definiáljuk e₁-et, és az α szög szinuszaként definiáljuk e₂-t.

A 90º-nál nagyobb szögek szögfüggvényeit visszavezetjük a hegyesszögekére:

sinα=sin(180º-α)

sinα=-sin(α-180º)

sinα=-sin(360º-α)

Forgásszögek (360º<α) szögfüggvényeit visszavezetjük a 360º-nál kisebb szögek szögfüggvényeire. Ebben az esetben α=α₁+k∙360º, k pozitív egész szám, és 0º<α₁<360º. Ekkor cosα=cosα₁, és sinα=sinα₁. Általában kimondható, hogy:

sinα=sin(α+k∙360º), ahol k egész szám (tehát a szögfüggvények periodikusak).

Negatív szög szögfüggvényei: cos(-α)=cosα; sin(-α)=-sinα

Definíció: egy szög tangensén a szög szinuszának és koszinuszának hányadosát értjük. Egy szög kotangensén a szög koszinuszának és szinuszának hányadosát értjük.

Minden szög megadható fokok helyett radiánban is. Egy radián egy körben a sugár hosszúságú ívhosszhoz tartozó szög nagysága. Az abszcisszára radiánban felmérve a szögeket ábrázolhatjuk a szögfüggvényeket. Mindegyikük periodikus.

Az f(x)=cos(x) függvény páros, 2π-s periódusa van, π/2+kπ (k egész szám) helyeken zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.

A szögfüggvények transzformálhatóak.

Függvényérték transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumon kívül végzünk műveleteket. f(x)=sin(x)±a az ordinátatengely mentén pozitív, illetve negatív irányba tolja el a függvény képét. f(x)=B∙sin(x) x tengelyhez való affinitást jelöl, 1-nél nagyobb szorzó „nyújtást” okoz.

– sin(x+π/2)=cos(x)

– cos(π/2-x)=sin(x)

sin(x) deriváltja cos(x), cos(x) deriváltja –sin(x), tg(x) deriváltja 1/cos²(x).

Szögfüggvényekhez kapcsolódó tételek:

• a és b oldala által közbezárt szög.
• 2=a²+b²-2a∙b∙cosγ, illetve tompaszögre c²=a²+b²+2a∙b∙cos(180º-γ), ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög. (γ=90º esetén 2ab∙cosγ=0  c²=a²+b², ld. még Pithagorasz-tétel)
• köréírt. Tompaszög esetén a/sin(180º-α)=b/sinβ. Adott a,b,α esetén, β-t keresve: ha a≥b, akkor egy megoldást kapunk, ha a<b, akkor vagy két, vagy nulla megoldás van.

 

Szögfüggvények gyakorlati használata: a fizikában, egyrészt harmonikus rezgőmozgásoknál, másrészt váltóárammal és egymással szöget bezáró erőkkel kapcsolatos problémák megoldására.