Trigonometria

Trigonometria

Két síkidom akkor hasonló, ha hasonlósági transzformációkkal átvihetőek egymásba.

Két háromszög akkor hasonló, ha:

• oldalaik egyenlőek (ekkor egybevágóak is), vagy ha

• két oldaluk és a hosszabbikkal szemközti szögük egyenlő, vagy ha

• egy oldaluk, és a rajta fekvő két szögük egyenlő, vagy ha

• szögeik egyenlőek.

Két derékszögű háromszög hasonló, ha egyenlő az egyik hegyesszögük. Hasonló háromszögek oldalainak aránya páronként egyenlőek. Hasonló derékszögű háromszögek esetén ez az arány kizárólag a szögek függvénye (“szögfüggvények”).

Definíció: derékszögű háromszögben a hegyesszöggel szemközti befogó és az átfogó hányadosát a szög szinuszának (sin) nevezzük (reciproka a szekáns). A szög melletti befogó és az átfogó hányadosát a szög koszinuszának (cos) nevezzük (reciproka a koszekáns). A szöggel szemközti befogó és a szög melletti befogó hányadosát a szög tangensének (tg) nevezzük, reciproka a kotangens (ctg).

Azonosságok:

• hegyesszög szinusza a pótszög (90º-ra kiegészítő szög) koszinusza

• hegyesszög koszinusza a pótszög szinusza

• hegyesszög tangense a pótszög kotangense

• hegyesszög tangense a szög szinuszának és koszinuszának hányadosa

• hegyesszög szinusza négyzetének és koszinusza négyzetének az összege 1 (“a trigonometria Pithagorasz-tétele”)

A szögfüggvényeket kiterjesztjük a hegyesszögnél nagyob szögekre. Ezt a permanencia-elv megtartásával tesszük, vagyis új definíciók mellett az azonosságok változatlanok.

Definíció: Adott i,j bázisvektorrendszer (i–ből +90º-os elforgatással megkapjuk j-t). Legyen e egységvektor irányszöge α (|e|=1; i-ből +α fokos elforgatással megkapjuk e-t)! Bontsuk fel e-t i,j bázisvektorrendszerben összetevőire! Ezt megtehetjük a vektorfelbontási tétel értelmében, ami kimondja, hogy síkban minden vektor egyértelműen felbontható két, nem párhuzamos vektorral párhuzamos összetevőkre. Így felbontva e=e₁i+e₂j, ahol e₁ és e₂ valós számok. Az α szög koszinuszaként definiáljuk e₁-et, és az α szög szinuszaként definiáljuk e₂-t.

A 90º-nál nagyobb szögek szögfüggvényeit visszavezetjük a hegyesszögekére:

második síknegyed (90º<α<180º): cosα=-cos(180º-α);

sinα=sin(180º-α)

harmadik síknegyed (180º<α<270º): cosα=-cos(α-180º);

sinα=-sin(α-180º)

negyedik síknegyed (270º<α<360º): cosα=cos(360º-α);

sinα=-sin(360º-α)

Forgásszögek (360º<α) szögfüggvényeit visszavezetjük a 360º-nál kisebb szögek szögfüggvényeire. Ebben az esetben α=α₁+k∙360º, k pozitív egész szám, és 0º<α₁<360º. Ekkor cosα=cosα₁, és sinα=sinα₁. Általában kimondható, hogy:

cosα=cos(α+k∙360º);

sinα=sin(α+k∙360º), ahol k egész szám (tehát a szögfüggvények periodikusak).

Negatív szög szögfüggvényei: cos(-α)=cosα; sin(-α)=-sinα

Definíció: egy szög tangensén a szög szinuszának és koszinuszának hányadosát értjük. Egy szög kotangensén a szög koszinuszának és szinuszának hányadosát értjük.

Mindezek mellett megmaradnak az azonosságok.

Minden szög megadható fokok helyett radiánban is. Egy radián egy körben a sugár hosszúságú ívhosszhoz tartozó szög nagysága. Az abszcisszára radiánban felmérve a szögeket ábrázolhatjuk a szögfüggvényeket. Mindegyikük periodikus.

Az f(x)=sin(x) függvény páratlan, 2π-s periódusa van, π egész számú többszöröseiben zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.

Az f(x)=cos(x) függvény páros, 2π-s periódusa van, π/2+kπ (k egész szám) helyeken zérushelye van, ezek inflexiós pontok is. Értelmezési tartománya a valós számok halmaza, értékkészlete a [-1;1] intervallum.

Az f(x)=tg(x) függvény páratlan, π-s periódusa van, π egész számú többszöröseiben zérushelye, míg π/2+kπ (k egész szám) helyeken másodfajú szakadása van, ott nem értelmezett (cos(π/2+kπ)=0). Egy perióduson belül szigorúan monoton nő.

A szögfüggvények transzformálhatóak.

Független változó transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumot változtatjuk. Ha a független változóhoz hozzáadunk, vagy kivonunk belőle (f(x)=sin(x±a)), azzal a függvény képét megfelelően az x tengely mentén balra, vagy jobbra toljuk el. Ha konstanssal szorozzuk a független változót, akkor az abszcissza mentén affinitást alkalmazunk a függvény képére (pl. f(x)=sin(2x) képe a sin(x) függvény kétszeresére „összenyomott” képe).

Függvényérték transzformációjáról beszélünk, ha az argumentumon kívül végzünk műveleteket. f(x)=sin(x)±a az ordinátatengely mentén pozitív, illetve negatív irányba tolja el a függvény képét. f(x)=B∙sin(x) x tengelyhez való affinitást jelöl, 1-nél nagyobb szorzó „nyújtást” okoz.

A transzformációkkal a szinusz- és koszinusz-függvények egymásba vihetők:

– sin(x+π/2)=cos(x)

– cos(x-π/2)=sin(x)

– cos(π/2-x)=sin(x)

sin(x) deriváltja cos(x), cos(x) deriváltja –sin(x), tg(x) deriváltja 1/cos²(x).

Szögfüggvényekhez kapcsolódó tételek:

• trigonometrikus területképlet: T=a∙b∙sinγ/2 hegyesszögekre, illetve T=a∙b∙sin(180º-γ)/2 tompaszögekre, ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög.

• koszinusz-tétel: c²=a²+b²-2a∙b∙cosγ, illetve tompaszögre c²=a²+b²+2a∙b∙cos(180º-γ), ahol γ a háromszög a és b oldala által közbezárt szög. (γ=90º esetén 2ab∙cosγ=0  c²=a²+b², ld. még Pithagorasz-tétel)

• szinusz-tétel: szokásos jelöléssel a/sinα=b/sinβ=c/sinγ=2∙R_köréírt. Tompaszög esetén a/sin(180º-α)=b/sinβ. Adott a,b,α esetén, β-t keresve: ha a≥b, akkor egy megoldást kapunk, ha a<b, akkor vagy két, vagy nulla megoldás van.

• Addíciós tétel: cos(α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ; sin(α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ; tg(α+β)=(tgα+tgβ)/(1-tgα∙tgβ)

Szögfüggvények gyakorlati használata: a fizikában, egyrészt harmonikus rezgőmozgásoknál, másrészt váltóárammal és egymással szöget bezáró erőkkel kapcsolatos problémák megoldására.