Konvex sokszög belső szögeinek összege, átlóinak száma bizonyítás

2 perc olvasás

Bizonyítsd be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege $(n -2)\cdot180^\circ</strong><strong>$ , átlóinak száma pedig $\displaystyle n\cdot\frac{(n -3)}{2}$ !

Hirdetés

A.
Az $n$ oldal konvex sokszög belső szögeinek összege $(n -2)\cdot180^\circ$

Bizonyítása:
A sokszög minden csúcsából $n -3$ átló húzható [saját magával és a két szomszédos csúcsba nem rajzolható átló]. Az egy csúcsból húzott $n -3$ átló a sokszöget $n -2$ háromszögre bontja.
Ezek belső szögeinek összege: $(n -2)\cdot180^\circ$ . Ez éppen a sokszög belső szögeinek összegét adja.

B.
Az $n$ oldal konvex sokszög összes átlójának száma $\displaystyle n\cdot\frac{(n -3)}{2}$

Bizonyítása:
Az $n$ oldal konvex sokszögben egy csúcsból $n -3$ , $n$ csúcsból összesen $n\cdot(n -3)$ átló húzható. Így mindegyik átlót kétszer számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az $n\cdot(n -3)$ -at ezért el kell osztani $2$ -vel. Az $n$ oldal sokszög összes átlójának száma tehát valóban $\displaystyle n\cdot\frac{(n -3)}{2}$