Konvex sokszög belső szögeinek összege, átlóinak száma bizonyítás
Bizonyítsd be, hogy az n oldal konvex sokszög belső szögeinek összege , átlóinak száma pedig
!
A.
Az oldal konvex sokszög belső szögeinek összege
Bizonyítása:
A sokszög minden csúcsából átló húzható [saját magával és a két szomszédos csúcsba nem rajzolható átló]. Az egy csúcsból húzott
átló a sokszöget
háromszögre bontja.
Ezek belső szögeinek összege: . Ez éppen a sokszög belső szögeinek összegét adja.
B.
Az oldal konvex sokszög összes átlójának száma
Bizonyítása:
Az oldal konvex sokszögben egy csúcsból
,
csúcsból összesen
átló húzható. Így mindegyik átlót kétszer számoljuk, egyszer az egyik végpontjánál, egyszer a másiknál. Az
-at ezért el kell osztani
-vel. Az
oldal sokszög összes átlójának száma tehát valóban