A Planck-törvény termodinamikai háttere

 E felismerés alapján Planck a végeredmény szempontjából közömbös modellrendszert választott: egyetlen, elektromosan töltött harmonikus oszcillátor kölcsönhatását vizsgálta az abszolút fekete testet megvalósító üregrezonátor elektromágneses állóhullámaival. Termodinamikusként eltért kortársai megközelítésétől, amely közvetlenül az üreg/oszcillátor kis frekvenciatartománybeli energiasűrűségének meghatározására irányult. Tudván, hogy az entrópia a rögzített térfogatú rendszerben az energiának egyértelmű függvénye, N darab frekvenciájú oszcillátor halmazára érvényes entrópia-energia összefüggés megalkotását tűzte ki céljául. Boltzmann fenti képletét használta kiindulásul. A feladat N oszcillátor NEösszenergiájú makroállapotához tartozó mikroszkopikus állapotok W_N számának meghatározása volt. Erre irányuló próbálkozásai során, a leszámlálhatóság biztosítására folyamodott az energiakvantálás „kétségbeesett” feltevéséhez:

N E = Pε

. Itt ε a kvantált energiacsomag nagysága, P pedig a teljes energia csomagokba osztásával adódó csomagszám. Nagyon nagyszámú oszcillátorhoz nagyon nagy P érték kell. Ebben a határesetben Stirlingképlete segítségével értékelte ki W_N kombinatorikai képletét, amellyel eljutott az egyetlen oszcillátor entrópiájának képletéhez:

. Miután a termodinamikában az entrópiának a belső energia szerinti parciális deriváltja adja a Thőmérséklet reciprokát, a fenti képletből adódik

. Ebből azután kifejezhető az oszcillátor E belső energiája T hőmérsékleten, amit az oszcillátorok állapotsűrűségével megszorozva Planck megkapta a róla elnevezett sugárzási törvényt. (Hallgatólagosan persze feltette, hogy termikus egyensúlyban az oszcillátorral képviselt abszolút fekete test és az azt övező sugárzás energiája a spektrum minden vonalára egyezik.) A kapott összefüggésnek a Wien-törvénnyel való összevetése is szükséges még, ami végül megköveteli az energiakvantumra az

ε = h

arányosságot. Közismert, hogy Planck jelentős, de hiábavaló erőfeszítést tett az energiakvantálási feltételtől való megszabadulásra. Ez a törekvés érthető, hiszen a fentiek szerint ő pusztán a szabadsági fokok (a mikroállapotok) megszámlálhatósága érdekében diszkretizálta az oszcillátorhalmaz energiáját. Einstein és követői a legkülönfélébb anyagi rendszerek elemi oszcillátorként viselkedő szabadsági fokaira alkalmazták a kvantálás eljárását. A szilárd testek fajhőjétől a fényingadozások statisztikájáig siker sikert követett. Az entrópia megszületésétől a sugárzás entrópiájáig vezető, fél évszázadot átfogó történet összefoglalásául idézni kívánom Varró Sándor kommentárját [2], amelyet Max Plancknak az 1911-es Solvay-konferencián tartott előadására alapozott: „Az energia kvantáltságának gondolata Boltzmann-nak 1872-ben és 1877- ben megjelent munkáira vezethető vissza. Bár Boltzmann pusztán matematikai eszköznek tekintette a diszkrét elemi energiacsomagokat, mégis második cikkében – amelyben elvégezte a (termodinamikai) valószínűség kombinatorikai elemzését és kiszámította annak maximumát, megkapta a gáz molekulái által hordozott energiacsomagok (Bose-)eloszlását. Planck megjegyezte, hogy a kombinatorikus megvalósítások teljes száma, illetve azok maximális valószínűséggel bekövetkező konfigurációinak száma között a különbség elhanyagolható lévén, Boltzmann eredménye egyezik az ő entrópiaképletével.”