Hirdetés

A Planck-törvény termodinamikai háttere

A Planck-törvény termodinamikai háttere

A termodinamika kivételes fizikai elmélet. Célkitűzése a makroszkopikus testek energiacserével járó folyamatainak jellemzése. Eredetileg ezt a célt a belső szerkezetre, a mikroszkopikus szabadsági fokokra történő bármiféle utalás nélkül kívánja elérni. Ennek köszönhető eredményei alkalmazhatóságának széles tartománya, univerzalitása. Sok esetben meglepően erős megszorítást jelentő következtetések nyerhetők módszereivel a mikroszkopikus szerkezetre is. Alapegyenlete valamely egyszerű mechanikai rendszer és környezete között kvázisztatikusan zajló energiacserélő folyamatok során az egyszerű rendszerben bekövetkező állapotváltozást korlátozó összefüggést fogalmazza meg:

Hirdetés

T dS = dE + p dV.

Itt T a test hőmérséklete, p a nyomása, dE a rendszer belső energiájának, dV a térfogatának infinitezimális megváltozása. A mechanikai munkavégzés és a belső energiaváltozás eredőjeként adódó infinitezimális hőcserét az entrópia dS megváltozása kontrollálja. Az entrópia ezen bevezetése Rudolf Clausius műve. Az első lépést megtevő S. Carnot és Clausius (1. kép ) nyomán a fizikusok a hőerőgépek hatásfoka növelésének feladatára koncentráltak, és az entrópiát elsősorban a munkává alakítható energiában bekövetkező veszteség szempontjából vizsgálták. Clausius mondta ki a mechanika törvényeire vissza nem vezethető állítást, miszerint zárt rendszerben az entrópia egyetlen természeti folyamatban sem csökkenhet:

dS ≥ 0.

A kvázisztatikus hőcsere egyenletének integrálásával meghatározható egy folyamatfüggetlen, valamint a mechanikai és elektromágneses állapothatározóktól is független makroszkopikus állapothatározó, az entrópia:

S = S (E,V) +  S0.

Ennek integrációs állandóját a harmadik főtétel nullára rögzíti az abszolút hőmérsékleti skála nullapontjában.

Planck-törvény (Planck's Law)

A termodinamika a nem-redukcionista (azaz a jelenségeket kisebb alkotórészek közötti folyamatokra visszavezetni nem kívánó) fizika nagyszerű teljesítménye. A redukcionista megközelítéstől való tartózkodás az az erény, amely egyéb, összetett nem-fizikai rendszerek (gazdaság, társadalmi szervezet stb.) kutatóit arra ösztönözte, hogy saját területükön analóg leírást keressenek, egyszerű szabadsági fokokat azonosítsanak, és egyenlőtlenség-alakú, változási irányt jelző összefüggésre jussanak. Megemlíthető Nicholas Georgescu- Roegen (2. kép ), aki 1971-ben publikálta Az entrópiatörvény és a gazdasági folyamat című könyvét. Ez a könyv nagy hatással volt az ökológiai gazdaságtan irányzatának létrejöttére, amely a természeti és emberi erőforrásokkal létrehozható gazdasági értéket az erőforrások állapotának reprodukálása mellett kívánja optimalizálni.

Planck-törvény (Planck's Law)

 A termodinamikusok mindmáig élénk vitája a termodinamika második főtételéhez vezető axiómák pontos megfogalmazását, a törvény alá vetett folyamatok egyértelmű körülhatárolását célozza. Ebben a tisztázó folyamatban Max Planck is aktívan részt vett, többek között 1897-ben kiadott tankönyvével, valamint a termodinamika harmadik tételének és az abszolút hőmérséklet fogalmának elfogadtatásáért tett erőfeszítéseivel. Érdemes felfigyelni arra, hogy még élete végén írott tudományos életrajzában [1] is hangsúlyozza, hogy milyen nehézségbe ütközött a Carnot-ciklus levezetésére használt, a kalorikumelméletet tükröző eredeti vízimalom-hasonlatnak (3. kép ) kiszorítása a fizikusok gondolkodásából. A termodinamika redukcionista megközelítése a Ludwig Boltzmann által javasolt statisztikus mechanikai megalapozással jelentkezett, amelynek lényegét éppen Planck öntötte tömör, és a mechanikai rendszerekről továbblépő általánosítást lehetővé tevő formába:

SN = kB ln WN,

ahol kB = 1,38 · 10-23 J/K. A kulcskérdés a WN mennyiség meghatározásának, azaz egy rendszer valamely rögzített belső energiájú makroállapotát megvalósító mikroállapotok leszámolásának mozzanata. Ez a lépés két kritikus kérdést hordoz magában. Az első: az adott állapot szempontjából alapvetőnek tekinthető alkotórészek (szabadsági fokok) azonosítása. A második: a szabadsági fokok diszkretizálása, ami leszámlálhatóságuk előfeltétele. A termodinamikus Planck sokáig kritikusan vélekedett a mechanika időtükrözésre szimmetrikus törvényeit a valószínűségi megközelítéssel ötvöző statisztikus mechanikai irányzat és a termodinamika összekapcsolhatóságáról. Szerepet játszott a molekuláris rendezetlenségkiegészítő fogalmának kialakításában, amely a mechanika törvényein túllépő feltétel a folyamatok időirányának meghatározottságára vezető H-tétel alkalmazhatóságára. Tudományos felfogásában ezért igazi személyes fordulatnak tűnik, hogy az elektromágneses térrel termikus egyensúlyban lévő abszolút fekete test sugárzási spektrumának értelmezéséhez a Boltzmann-féle valószínűségi entrópiafogalomra épülő elméletet dolgozott ki. Ebben a jelenségben is, mint a termodinamika egész konstrukciójában, valószínűleg az univerzalitás ragadta meg. Ma ezt úgy fogalmazhatjuk, hogy a hőmérsékleti sugárzás spektruma független attól, hogy a laboratóriumban gondosan hőszigetelt, tükröző falú tartály belsejében elhelyezkedő szénszemcse sugárzása, vagy a Világegyetem egészét kitöltő elektromágneses állóhullámok valósítják-e meg.

Planck-törvény (Planck's Law)

 E felismerés alapján Planck a végeredmény szempontjából közömbös modellrendszert választott: egyetlen, elektromosan töltött harmonikus oszcillátor kölcsönhatását vizsgálta az abszolút fekete testet megvalósító üregrezonátor elektromágneses állóhullámaival. Termodinamikusként eltért kortársai megközelítésétől, amely közvetlenül az üreg/oszcillátor kis frekvenciatartománybeli energiasűrűségének meghatározására irányult. Tudván, hogy az entrópia a rögzített térfogatú rendszerben az energiának egyértelmű függvénye, N darab frekvenciájú oszcillátor halmazára érvényes entrópia-energia összefüggés megalkotását tűzte ki céljául. Boltzmann fenti képletét használta kiindulásul. A feladat N oszcillátor NEösszenergiájú makroállapotához tartozó mikroszkopikus állapotok WN számának meghatározása volt. Erre irányuló próbálkozásai során, a leszámlálhatóság biztosítására folyamodott az energiakvantálás „kétségbeesett” feltevéséhez:

N E = Pε

. Itt ε a kvantált energiacsomag nagysága, P pedig a teljes energia csomagokba osztásával adódó csomagszám. Nagyon nagyszámú oszcillátorhoz nagyon nagy P érték kell. Ebben a határesetben Stirlingképlete segítségével értékelte ki WN kombinatorikai képletét, amellyel eljutott az egyetlen oszcillátor entrópiájának képletéhez:

 képlet

. Miután a termodinamikában az entrópiának a belső energia szerinti parciális deriváltja adja a Thőmérséklet reciprokát, a fenti képletből adódik

 képlet

. Ebből azután kifejezhető az oszcillátor E belső energiája T hőmérsékleten, amit az oszcillátorok állapotsűrűségével megszorozva Planck megkapta a róla elnevezett sugárzási törvényt. (Hallgatólagosan persze feltette, hogy termikus egyensúlyban az oszcillátorral képviselt abszolút fekete test és az azt övező sugárzás energiája a spektrum minden vonalára egyezik.) A kapott összefüggésnek a Wien-törvénnyel való összevetése is szükséges még, ami végül megköveteli az energiakvantumra az

ε = h

arányosságot. Közismert, hogy Planck jelentős, de hiábavaló erőfeszítést tett az energiakvantálási feltételtől való megszabadulásra. Ez a törekvés érthető, hiszen a fentiek szerint ő pusztán a szabadsági fokok (a mikroállapotok) megszámlálhatósága érdekében diszkretizálta az oszcillátorhalmaz energiáját. Einstein és követői a legkülönfélébb anyagi rendszerek elemi oszcillátorként viselkedő szabadsági fokaira alkalmazták a kvantálás eljárását. A szilárd testek fajhőjétől a fényingadozások statisztikájáig siker sikert követett. Az entrópia megszületésétől a sugárzás entrópiájáig vezető, fél évszázadot átfogó történet összefoglalásául idézni kívánom Varró Sándor kommentárját [2], amelyet Max Plancknak az 1911-es Solvay-konferencián tartott előadására alapozott: „Az energia kvantáltságának gondolata Boltzmann-nak 1872-ben és 1877- ben megjelent munkáira vezethető vissza. Bár Boltzmann pusztán matematikai eszköznek tekintette a diszkrét elemi energiacsomagokat, mégis második cikkében – amelyben elvégezte a (termodinamikai) valószínűség kombinatorikai elemzését és kiszámította annak maximumát, megkapta a gáz molekulái által hordozott energiacsomagok (Bose-)eloszlását. Planck megjegyezte, hogy a kombinatorikus megvalósítások teljes száma, illetve azok maximális valószínűséggel bekövetkező konfigurációinak száma között a különbség elhanyagolható lévén, Boltzmann eredménye egyezik az ő entrópiaképletével.”

Címkék: termodinamika



Ady Endre (26) Angol (29) angol nyelvtan (35) Arany János (18) Atom (20) egyenes (25) elemzés (139) ember (23) energia (26) Filozófia (37) függvény (25) gazdaság (34) halmaz (24) háromszög (25) hőmérséklet (32) líra (22) magyar (22) magyar irodalom (289) Magyarország (38) magyar történelem (102) Matematika (25) Nyelvtan (43) PC (60) Petőfi Sándor (20) politika (24) párhuzamos (18) szerves (32) szervetlen (31) számok (27) számítógép (60) szög (25) tartalom (18) test (28) tétel (18) Történelem (21) USA (18) valós (19) vektor (18) vers (50) verselemzés (47) világirodalom (111) világtörténelem (115) víz (22) életrajz (21) érettségi (34)
Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!