Skaláris szorzat kiszámítása koordinátákkal

3 perc olvasás

A következőkben megmutatjuk, hogyan lehet két vektor skalárszorzatát kiszámítani a derékszögű koordinátáik segítségével.

Hirdetés

Legyen $\vec{u}(u_1,u_2)$ és $\vec{v}(v_1,v_2)$ a két megadott vektor a derékszögű koordinátarendszerben, továbbá $\vec{i}(1,0)$ és $\vec{j}(0,1)$ a két bázisvektor.

Írjuk fel az $\vec{u}$ és $\vec{v}$ vektorokat a két bázisvektor lineáris kombinációjaként; a bázisvektorok definíciója szerint az együtthatók éppen a vektorok koordinátái lesznek:

$\vec{u} = u_1\vec{i} + u_2\vec{j}$

$\vec{v} = v_1\vec{i} + v_2\vec{j}$

A két vektor skaláris szorzatát tehát az alábbi formába is írhatjuk:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (u_1\vec{i} + u_2\vec{j}) \cdot (v_1\vec{i} + v_2\vec{j}).$

Most kihasználjuk a skaláris szorzatnak azt az ismert tulajdonságát, hogy disztributív, ami azt jelenti, hogy a zárójelek a hagyományos szorzás szabályai szerint felbonthatók:

Hirdetés

$(u_1\vec{i} + u_2\vec{j}) \cdot (v_1\vec{i} + v_2\vec{j}) = (u_1\vec{i})\cdot(v_1\vec{i}) + (u_1\vec{i})\cdot(v_2\vec{j}) + (u_2\vec{j}) \cdot (v_1\vec{i}) + (u_2\vec{j}) \cdot (v_2\vec{j}) =$

$= u_1v_1(\vec{i}\cdot \vec{i}) + u_1v_2(\vec{i}\cdot \vec{j}) + u_2v_1(\vec{j}\cdot \vec{i}) + u_2v_2(\vec{j}\cdot \vec{j})$

Egy vektor önmagával vett skalárszorzata éppen a vektor hosszának a négyzete. A bázisvektorok hossza $1,$ ezért

$\vec{i}\cdot \vec{i} = \vec{j}\cdot \vec{j} = 1.$

Azt is tudjuk viszont, hogy egymásra merőleges vektorok skaláris szorzata mindig $0.$ A két bázisvektor egymásra merőleges, ezért

$\vec{i}\cdot \vec{j} = \vec{j}\cdot \vec{i} = 0.$

A kapott összefüggéseket felhasználva:

$u_1v_1(\vec{i}\cdot \vec{i}) + u_1v_2(\vec{i}\cdot \vec{j}) + u_2v_1(\vec{j}\cdot \vec{i}) + u_2v_2(\vec{j}\cdot \vec{j}) =$

$= u_1v_1\cdot 1 + u_1v_2\cdot 0 + u_2v_1\cdot 0+ u_2v_2\cdot 1 = u_1v_1 + u_2v_2.$

A két vektor skaláris szorzata tehát

$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1 + u_2v_2.$

Ezzel bebizonyítottuk, hogy a derékszögű koordinátarendszerben két vektor skaláris szorzata a megfelelő koordinátáik szorzatának összegével egyenlő.

Címkék: bázisvektor koordináta koordinátarendszer skaláris szorzat vektor

Skaláris szorzat kiszámítása koordinátákkal

Kedvenc tételeid

vagy

Belépés

vagy

Regisztráció

Iratkozz fel hírlevelünkre