Konvex sokszög átlóinak száma, belső és külső szögeinek összege

4 perc olvasás

Az alábbiakban bebizonyítjuk, hogy egy $n$ oldalú konvex sokszög átlóinak száma $\frac{n(n-3)}{2},$ belső szögeinek összege $(n-2)\cdot 180^{\circ},$ külső szögeinek összege pedig $n$ -től függetlenül mindig $360^{\circ}.$

Hirdetés

Először meghatározzuk az átlók számát. Szemeljük ki a sokszög egyik csúcsát, például $A$ -t, és húzzuk be az összes $A$ -ból induló átlót.

A sokszög konvex volta miatt ily módon minden csúcsba tudunk átlót húzni, $3$ csúcs kivételével: magába az $A$ csúcsba nem, és ennek a két szomszédjába sem, $B$ -be és $J$ -be. Tehát a behúzott átlók száma $n-3.$

Most húzzuk be az összes többi csúcsra is az onnan induló összes lehetséges átlót. Mind az $n$ csúcsból $n-3$ darab átlót húztunk be, ez összesen $n(n-3)$ darab átlót jelent.

Azonban ekkor minden átlót kétszer számoltunk, egyszer az egyik végpontjánál, másodszor a másik végpontjánál. Például az $AC$ átló beletartozik az $A$ csúcsból húzható $n-3$ darab átlóba és a $C$ csúcsból húzható $n-3$ darab átlóba is. Ennélfogva $n(n-3)$ éppen az átlók számának kétszerese lesz.