Hirdetés

Konvex sokszög átlóinak száma, belső és külső szögeinek összege

4 perc olvasás

https://youtu.be/uJBBmcRrzeM

Az alábbiakban bebizonyítjuk, hogy egy n oldalú konvex sokszög átlóinak száma \frac{n(n-3)}{2}, belső szögeinek összege (n-2)\cdot 180^{\circ}, külső szögeinek összege pedig n-től függetlenül mindig 360^{\circ}.

Hirdetés

 

Először meghatározzuk az átlók számát. Szemeljük ki a sokszög egyik csúcsát, például A-t, és húzzuk be az összes A-ból induló átlót.

A sokszög konvex volta miatt ily módon minden csúcsba tudunk átlót húzni, 3 csúcs kivételével: magába az A csúcsba nem, és ennek a két szomszédjába sem, B-be és J-be. Tehát a behúzott átlók száma n-3.

Most húzzuk be az összes többi csúcsra is az onnan induló összes lehetséges átlót. Mind az n csúcsból n-3 darab átlót húztunk be, ez összesen n(n-3) darab átlót jelent.

Azonban ekkor minden átlót kétszer számoltunk, egyszer az egyik végpontjánál, másodszor a másik végpontjánál. Például az AC átló beletartozik az A csúcsból húzható n-3 darab átlóba és a C csúcsból húzható n-3 darab átlóba is. Ennélfogva n(n-3) éppen az átlók számának kétszerese lesz.

Hirdetés

Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma tehát \frac{n(n-3)}{2}.

Még 331 szó van a tételből!
A tartalom teljes megtekintéséhez kérlek lépj be az oldalra, vagy regisztrálj egy új felhasználói fiókot!


Iratkozz fel hírlevelünkre

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!

Sikeres feliratkozás

Valami hiba történt!