Konvex sokszög átlóinak száma, belső és külső szögeinek összege
Az alábbiakban bebizonyítjuk, hogy egy oldalú konvex sokszög átlóinak száma belső szögeinek összege külső szögeinek összege pedig -től függetlenül mindig
Először meghatározzuk az átlók számát. Szemeljük ki a sokszög egyik csúcsát, például -t, és húzzuk be az összes -ból induló átlót.
A sokszög konvex volta miatt ily módon minden csúcsba tudunk átlót húzni, csúcs kivételével: magába az csúcsba nem, és ennek a két szomszédjába sem, -be és -be. Tehát a behúzott átlók száma
Most húzzuk be az összes többi csúcsra is az onnan induló összes lehetséges átlót. Mind az csúcsból darab átlót húztunk be, ez összesen darab átlót jelent.
Azonban ekkor minden átlót kétszer számoltunk, egyszer az egyik végpontjánál, másodszor a másik végpontjánál. Például az átló beletartozik az csúcsból húzható darab átlóba és a csúcsból húzható darab átlóba is. Ennélfogva éppen az átlók számának kétszerese lesz.
Az oldalú konvex sokszög átlóinak száma tehát
A tartalom teljes megtekintéséhez kérlek lépj be az oldalra, vagy regisztrálj egy új felhasználói fiókot!