Háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást

3 perc olvasás

Tétel: Egy háromszögben a súlyvonalak egy pontban metszik egymást, és ez a pont a súlyvonalak oldalhoz közelebbi harmadolópontja.

Hirdetés

A következőkben be fogjuk bizonyítani ezt a tételt.

Háromszögben egy adott csúcshoz tartozó súlyvonal az a szakasz, amely az adott csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával köti össze. Legyenek a csúcsokkal szemközti felezőpontok $F_A, F_B$ és $F_C,$ és legyen $S$ az $AF_A$ és $BF_B$ súlyvonalak metszéspontja. Azt szeretnénk majd igazolni, hogy a $CF_C$ súlyvonal is átmegy $S$ -en.

Először viszont azt látjuk be, hogy $S$ az $AF_A$ és $BF_B$ súlyvonalak oldalhoz közelebbi harmadolópontja.

Húzzuk be az $F_AF_B$ szakaszt. Ez a háromszög $AB$ oldalához tartozó középvonala lesz. Háromszög középvonala mindig párhuzamos a hozzá tartozó oldallal, és fele olyan hosszú, azaz $F_AF_B || AB,$ és $F_AF_B = \frac{1}{2}AB.$