A háromszög szögfelezői egy ponton mennek át

Be fogjuk bizonyítani, hogy egy háromszög szögfelezői mindig egy ponton mennek át, amely pont egyenlő távolságra van mindhárom oldalegyenestől. Ezt a pont a háromszög beírható körének középpontja.

Először igazoljuk az alábbi állítást:

Egy szögtartomány szögfelezője azon pontok halmaza az adott szögtartományban, amelyek egyenlő távol vannak mindkét szögszártól.

Legyen a fenti ábrán a szögfelező egy pontja, és pedig a merőleges vetületei a szögszárakra. A két szögszártól vett két távolság és ezekről kell belátni, hogy megegyeznek.

Vizsgáljuk a és háromszögeket. Mindkét háromszög derékszögű, továbbá szögfelező, így Mivel két-két szögük megegyezik, ezért a harmadik is, vagyis a két háromszög hasonló. Azonban közös oldaluk, ezért a hasonlóság arányszáma Következésképpen a két háromszög egybevágó.

Az egybevágóság miatt és ezt akartuk belátni. Ez visszafelé is igaz, vagyis ha egy pont egyenlő távolságra van a száraktól, akkor rajta van a szögfelezőn. Tehát a szögfelező valóban a két szártól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.