Hirdetés

A háromszög szögfelezői egy ponton mennek át

3 perc olvasás

Be fogjuk bizonyítani, hogy egy háromszög szögfelezői mindig egy ponton mennek át, amely pont egyenlő távolságra van mindhárom oldalegyenestől. Ezt a pont a háromszög beírható körének középpontja.

Hirdetés

Először igazoljuk az alábbi állítást:

Egy szögtartomány szögfelezője azon pontok halmaza az adott szögtartományban, amelyek egyenlő távol vannak mindkét szögszártól.

Legyen Q a fenti ábrán a szögfelező egy pontja, R és S pedig a merőleges vetületei a szögszárakra. A két szögszártól vett két távolság QR és QS, ezekről kell belátni, hogy megegyeznek.

Vizsgáljuk a QRP és QSP háromszögeket. Mindkét háromszög derékszögű, továbbá PQ szögfelező, így \angle QPR = \angle QPS. Mivel két-két szögük megegyezik, ezért a harmadik is, vagyis a két háromszög hasonló. Azonban QP közös oldaluk, ezért a hasonlóság arányszáma 1. Következésképpen a két háromszög egybevágó.

Az egybevágóság miatt QR = QS, és ezt akartuk belátni. Ez visszafelé is igaz, vagyis ha egy pont egyenlő távolságra van a száraktól, akkor rajta van a szögfelezőn. Tehát a szögfelező valóban a két szártól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

Még 257 szó van a tételből!
A tartalom teljes megtekintéséhez kérlek lépj be az oldalra, vagy regisztrálj egy új felhasználói fiókot!


Iratkozz fel hírlevelünkre

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!

Sikeres feliratkozás

Valami hiba történt!