Definíciók:

1. Természetes számok (N):

A pozitív egész számokat és a 0-t együtt természetes számoknak nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve. (A zártság annyit jelent, hogy ezek a műveletek a számhalmaz elemeivel korlátlanul elvégezhetők, és az eredmény is természetes szám marad.)

Kivonásokat is végezhetünk a természetes számok körében, pl.: 13-5=8. Ha azonban azt akarjuk, hogy ez a művelet korlátlanul elvégezhető legyen, tehát kisebb számból is ki tudjunk vonni nagyobbat, akkor bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért bevezettük a negatív egész számokat. A negatív egész számok halmazának a jele: Z-

 

2. Egész számok (Z):

A természetes számokat és a negatív egészeket együtt egész számoknak nevezzük.

Ez a halmaz már zárt az összeadásra, szorzásra és a kivonásra nézve is. Az egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el. Pl.: az 5:3 művelet eredménye kivezet a halmazból. Ahhoz, hogy az ilyen osztás is elvégezhető legyen, bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért vezetjük be a törtszámokat.

A törteket és az egészeket együtt racionális számoknak nevezzük.

 

3. Racionális számok (Q):

A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak nevezzük.

Racionális számok a véges- vagy a végtelen szakaszos tizedestörtek.

Ezzel még nem ért véget a számfogalom bővítése. Például az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza nem adható meg két egész szám hányadosaként.

 

4. Irracionális számok (Q*):

Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük.

Irracionális számok a végtelen nem szakaszos tizedestörtek.

 

5. Valós számok (R):

A racionális és az irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük.

R=QQ*

Bizonyítható, hogy a valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

Az a, b és c valós számok összeadására és szorzására érvényesek a következő tulajdonságok:

* Kommutativitás:

a+b=b+a ab=ba

* Asszociativitás:

(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)

 * Disztributivitás:

(a+b)c=ac+bc

 

8. Komplex számok:

A gyökvonás művelete kivezet a valós számok halmazából, ezért szükséges egy újabb számhalmaz, a komplex számok bevezetése.

 

7. Ekvivalens halmazok:

Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).

 

8. Halmaz számossága:

Egy H halmaz számossága az elemeinek száma. Jele: |H|.

 

9. Véges halmaz:

Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.

 

10. Végtelen halmaz:

Egy halmaz végtelen, ha nem véges.

 

11. Megszámlálhatóan végtelen halmaz:

Azokat a halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmaznak nevezzük.

A megszámlálhatóan végtelen halmaz számosságát a héber ABC első betűjével jelöljük: א0 (alefnull).

|N|=|Z+|=|Z|=|Q+|=|Q|=א0

 

12. Kontinuum számosság:

A valós számok halmazával ekvivalens halmazokat nem megszámlálhatóan végtelen vagy kontinuum számosságú halmazoknak nevezzük.

A kontinuum számosságot a gót ABC c betűjével jelöljük.

|R|=|Q*|=|a sík pontjainak halmaza|=|egyenes pontjainak halmaza|=|félegyenes pontjainak halmaza|=|szakasz pontjainak halmaza|=|körív pontjainak halmaza|=kontinuum

 

Tételek:

1. Minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként.

Mivel a racionális számok véges- vagy végtelen szakaszos tizedestörtek, azt kell bizonyítanunk, hogy bármely két egész szám hányadosa felírható ilyen alakban.

Az (a;bZ) osztást elvégezve a lehetséges maradékai: 0; 1; 2; … b-1. Ha a maradék 0, akkor véges tizedestört, ha nem 0, akkor végtelen szakaszos tizedestört. Legfeljebb a b-edik lépésben olyan maradék jön elő, ami már szerepelt. Igaz a tétel megfordítása is, mi szerint bármely véges, vagy végtelen szakaszos tizedestört racionális szám.

 

2. A irracionális szám.

A bizonyítás indirekt módon történik.

egyszerűsíthető 2-vel; nem teljesül az indirekt feltétel a irracionális szám

 

3. Az egész számok halmaza megszámlálhatóan végtelen.

Ezt úgy bizonyíthatjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű ráképezést, azaz bijekciót keresünk az egész számok halmaza és a természetes számok halmaza között.

 

 

Alkalmazások:

Matematikai:

* Értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatánál számhalmazokat keresünk.

* Beszélhetünk a prímszámok, a páros számok, a négyjegyű számok, a négyzetszámok (…) halmazáról.

* A teljes indukcióval való bizonyításnál a természetes számoknak azt a tulajdonságát használjuk ki, hogy minden természetes számhoz egyet adva ismét természetes számot kapunk.

 

Egyéb:

* A termékek ára egy-egy pozitív egész (vagy racionális) szám.

* A fizika a vezetékes átviteltechnikában komplex számokat használ.