Számhalmazok (valós, természetes számok halmaza és részhalmazai), halmazok számossága
Definíciók:
1. Természetes számok (N):
A pozitív egész számokat és a 0-t együtt természetes számoknak nevezzük.
A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve. (A zártság annyit jelent, hogy ezek a műveletek a számhalmaz elemeivel korlátlanul elvégezhetők, és az eredmény is természetes szám marad.)
Kivonásokat is végezhetünk a természetes számok körében, pl.: 13-5=8. Ha azonban azt akarjuk, hogy ez a művelet korlátlanul elvégezhető legyen, tehát kisebb számból is ki tudjunk vonni nagyobbat, akkor bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért bevezettük a negatív egész számokat. A negatív egész számok halmazának a jele: Z-
2. Egész számok (Z):
A természetes számokat és a negatív egészeket együtt egész számoknak nevezzük.
Ez a halmaz már zárt az összeadásra, szorzásra és a kivonásra nézve is. Az egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el. Pl.: az 5:3 művelet eredménye kivezet a halmazból. Ahhoz, hogy az ilyen osztás is elvégezhető legyen, bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért vezetjük be a törtszámokat.
A törteket és az egészeket együtt racionális számoknak nevezzük.
3. Racionális számok (Q):
A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak nevezzük.
Racionális számok a véges- vagy a végtelen szakaszos tizedestörtek.
Ezzel még nem ért véget a számfogalom bővítése. Például az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza nem adható meg két egész szám hányadosaként.
4. Irracionális számok (Q*):
Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük.
Irracionális számok a végtelen nem szakaszos tizedestörtek.
5. Valós számok (R):
A racionális és az irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük.
R=QQ*
Bizonyítható, hogy a valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.
Az a, b és c valós számok összeadására és szorzására érvényesek a következő tulajdonságok:
* Kommutativitás:
a+b=b+a ab=ba
* Asszociativitás:
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
* Disztributivitás:
(a+b)c=ac+bc
8. Komplex számok:
A gyökvonás művelete kivezet a valós számok halmazából, ezért szükséges egy újabb számhalmaz, a komplex számok bevezetése.
7. Ekvivalens halmazok:
Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).
8. Halmaz számossága:
Egy H halmaz számossága az elemeinek száma. Jele: |H|.
9. Véges halmaz:
Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.
10. Végtelen halmaz:
Egy halmaz végtelen, ha nem véges.
11. Megszámlálhatóan végtelen halmaz:
Azokat a halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmaznak nevezzük.
A megszámlálhatóan végtelen halmaz számosságát a héber ABC első betűjével jelöljük: א0 (alefnull).
|N|=|Z+|=|Z|=|Q+|=|Q|=א0
12. Kontinuum számosság:
A valós számok halmazával ekvivalens halmazokat nem megszámlálhatóan végtelen vagy kontinuum számosságú halmazoknak nevezzük.
A kontinuum számosságot a gót ABC c betűjével jelöljük.
|R|=|Q*|=|a sík pontjainak halmaza|=|egyenes pontjainak halmaza|=|félegyenes pontjainak halmaza|=|szakasz pontjainak halmaza|=|körív pontjainak halmaza|=kontinuum
Tételek:
1. Minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként.
Mivel a racionális számok véges- vagy végtelen szakaszos tizedestörtek, azt kell bizonyítanunk, hogy bármely két egész szám hányadosa felírható ilyen alakban.
Az (a;bZ) osztást elvégezve a lehetséges maradékai: 0; 1; 2; … b-1. Ha a maradék 0, akkor véges tizedestört, ha nem 0, akkor végtelen szakaszos tizedestört. Legfeljebb a b-edik lépésben olyan maradék jön elő, ami már szerepelt. Igaz a tétel megfordítása is, mi szerint bármely véges, vagy végtelen szakaszos tizedestört racionális szám.
2. A irracionális szám.
A bizonyítás indirekt módon történik.
egyszerűsíthető 2-vel; nem teljesül az indirekt feltétel a irracionális szám
3. Az egész számok halmaza megszámlálhatóan végtelen.
Ezt úgy bizonyíthatjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű ráképezést, azaz bijekciót keresünk az egész számok halmaza és a természetes számok halmaza között.
Alkalmazások:
Matematikai:
* Értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatánál számhalmazokat keresünk.
Lapozz a további részletekért