Két vektor skaláris szorzata

Mit ért két vektor skaláris szorzatán? Mi annak szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor skaláris szorzata zérus legyen?

Az A és b vektor skaláris szorzata: a*b =|a|*|b|*cos(epszilon) ,
ahol epszilon a két vektor hajlásszögét jelöli, vagyis 0 <=epszilon <=180 fok.

Ha epszilon <90 fok [vagyis hegyes szög], akkor (a*b) pozitív.

Ha epszilon >90 fok [vagyis tompa szög], akkor (a*b) negatív.

Ha a két vektor közt a nulvektor is szerepel, akkor a hajlásszög nincs egyértelműen meghatározva, de a nulvektor abszolútértéke 0, ezért a szorzat ekkor 0. Ezek szerint a skaláris szorzat mindig egyértelműen meghatározott.

Ha A merőleges b-re, akkor a*b =|a|*|b|*cos(90) =|a|*|b|*0 =0, vagyis a skaláris szorzatok 0.

Megfordítva:
ha (a*b =0), és az (a*b) vektorok egyike sem 0, akkor (|a| <>0), és (|b| <>0), így (a*b =|a|*|b|*cos(epszilon) =0) csak úgy állhat fenn, ha (cos(epszilon) =0), tehát A merőleges b-re.

Eszerint két vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor 0, ha a két vektor merőleges egymásra. [a nulvektort úgy tekintjük, hogy minden vektorra merőleges.]

A skaláris szorzat definíciójából nyílvánvaló, hogy a skaláris szorzat kommutatív: a*b =b*a.

Az ((a*b)*c) egy c irányvektor, az (a*(b*c)) pedig egy A irányvektor, a skaláris szorzat tehát nem asszociatív.