Két nem negatív szám számtani-, és mértani közepe
Mi az összefüggés két nem negatív szám számtani, és mértani közepe között? Igazoljuk az összefüggést!
Két nem negatív szám számtani közepe nagyobb a két szám mértani közepénél, esetleg egyenlő vele, de egyenlőség csak akkor van, ha a két szám egymással egyenlő:
{a +b /2} >=`(a*b)
a >=0, b >=0
Hirdetés
Bizonyítása
[Kettővel átszorozva]
a +b >=2*`(a*b)
[Mindkét oldalt négyzetre emelve:]
a^2 +2*ab +b^2 >=4*ab
[4*a*b-t átvisszük a bal oldalra:]
a^2 -2*ab +b^2 >=0
[Más alakba felírva:]
(a -b)^2 >=0
Ez igaz, mert (a -b)-nek a négyzete [azaz egy valós szám négyzete] nem lehet negatív soha, tehát vagy nulla, vagy pozitív lehet.
Hirdetés
Ez akkor lesz egyenlő nullával, ha az A egyenlő a b-vel, vagyis a számtani, és a mértani közép akkor egyenlő egymással, ha a két érték megegyezik egymással.
