Hirdetés
Hirdetés

Henger térfogata

Bizonyítsa be, hogy az r sugarú, kör alapú, m magasságú henger térfogata V = r^{2}\cdot \Pi \cdot m!

A bizonyítás gondolatmenete:

  • Írjunk gondolatban az r sugarú, m magasságú hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszámú szabályos sokszög alapú hasábokat [magasságuk m].
  • A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört.
  • A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival.
  • A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek.
  • A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken.
  • Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken.
  • A szabályos sokszög alapú hasábok térfogata az “alapterület \cdot magasság” összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság (m) azonos érték.
  • Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken.
  • Így az azonos oldalszám köré – és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken.
  • Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték r^{2}\cdot \Pi a kör területe.
  • Így akármilyen nagy oldalszámra is a köré – és beírt hasábok térfogata közé esik az (r^{2}\cdot \Pi \cdot m) érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart.
  • Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha az r sugarú m magasságú henger térfogata V = r^{2}\cdot \Pi \cdot m.


Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!