Henger térfogata

Bizonyítsa be, hogy az sugarú, kör alapú, magasságú henger térfogata !

A bizonyítás gondolatmenete:

• Írjunk gondolatban az sugarú, m magasságú hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszámú szabályos sokszög alapú hasábokat [magasságuk ].
• A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört.
• A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival.
• A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek.
• A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken.
• Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken.
• A szabályos sokszög alapú hasábok térfogata az „alapterület magasság” összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság azonos érték.
• Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken.
• Így az azonos oldalszám köré – és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken.
• Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték a kör területe.
• Így akármilyen nagy oldalszámra is a köré – és beírt hasábok térfogata közé esik az érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart.
• Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha az sugarú m magasságú henger térfogata .