Henger térfogata
Bizonyítsa be, hogy az sugarú, kör alapú, magasságú henger térfogata !
Hirdetés
A bizonyítás gondolatmenete:
- Írjunk gondolatban az sugarú, m magasságú hengerbe és a henger köré egyre nagyobb oldalszámú szabályos sokszög alapú hasábokat [magasságuk ].
- A beírt hasáboknál a sokszögek csúcsai a körvonalra esnek, a köré írt hasáboknál a szabályos sokszögek oldalai érintik a kört.
- A hasábok alkotói mindkét esetben párhuzamosak a henger alkotóival.
- A hasábok és a henger fedőlapjai egy síkba esnek.
- A szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt sokszögek területe nő, a köréírt sokszögek területe csökken.
- Így az oldalszám növelésével az azonos oldalszám köréírt és beírt szabályos sokszögek területe közti különbség csökken.
- A szabályos sokszög alapú hasábok térfogata az „alapterület magasság” összefüggés alapján számítható, ahol minden beírt és köréírt hasábra a magasság azonos érték.
- Ebből és a fent mondottakból következik, hogy a szabályos sokszögek oldalszámát növelve a beírt hasábok térfogata nő, a köréírtaké pedig csökken.
- Így az azonos oldalszám köré – és beírt hasábok térfogata közötti különbség csökken.
- Bizonyítható, hogy a beírt és köréírt sokszögek területe az oldalszám növelésével azonos értékhez tart, ez az érték a kör területe.
- Így akármilyen nagy oldalszámra is a köré – és beírt hasábok térfogata közé esik az érték, amihez a köréírt és a beírt hasábok térfogata és a henger térfogata is tart.
- Bizonyítható, hogy ez csak úgy valósulhat meg, ha az sugarú m magasságú henger térfogata .