Hirdetés

Háromszög köré írható körének bizonyítása – Videó bizonyítás

Bebizonyítjuk, hogy egy háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást és ez a pont pedig, a háromszög köréírható körének középpontja.

Hirdetés

Rajzoljunk egy általános háromszöget és rajzoljuk be az oldalfelező merőlegeseit. Melyek olyan egyenesek, amelyek rendre az oldal felezőpontjában metszik az oldalakat és merőlegesek azokra.

Oldalfelező merőleges definíció szerint egy \overline{AB} szakaszon azon pontok halmaza a síkon, amelyeknek az A és B pontoktól való távolságai megegyeznek.

Ha veszünk egy pontot mely e és f egyenesek metszete az e\cap f pont, akkor teljesülni fog, hogy ennek a pontnak a távolsága az A ponttól, megegyezik a B ponttól való távolságával, azaz

(1)   \begin{equation*} d(e\cap f,A) = d(e\cap f,B) \end{equation*}

Tudjuk, hogy e\cap f pont rajta van az f egyenesen is, nade f annak a pontoknak a halmaza, melyek egyenlő távolségra vannak a B és a C ponttól is, azaz

(2)   \begin{equation*} d(e\cap f,B) = d(e\cap f,C) \end{equation*}

Tehát igaz lesz az is, hogy

(3)   \begin{equation*} d(e\cap f,A) = d(e\cap f,C) \end{equation*}

Ez azt jelenti, hogy az e\cap f pont egyenlő távolságra van A és C ponttól is. De az olyan pontok halmaza mely az A és C ponttól is egyenlő távolságra vannak az az \overline{AC} szakasz felezőmerőlegese azaz a g egyenes.

Tehát a e\cap f pont rajta van a g egyenesen.

Így a g egyenes átmegy ezen a metszésponton, a három egyenes egy pontban metszi egymást.

Ez a pont lesz a háromszög körülírható körének a középpontja. Mivel a körülírt kör egy olyan kör, mely átmegy a háromszög mindhárom csúcsán. Ez azért teljesülhet, mert ez a pont a háromszög mindhárom csúcsától egyenlő távolságra van.



Iratkozz fel hírlevelünkreNe maradj le a legújabb tételekről!

Értesülj elsőnek a legújabb minőségi tételekről, jegyzetekről és az oldal új funkcióiról!