A tartalom eléréséhez kérjük, lépj be!
Kezdd itt
Szavas kereso
Szint kereso
Top 10 feltöltő

Top 10 feltöltő


Számhalmazok (a valós számok halmaza és részhalmazai), halmazok számossága

VN:F [1.9.22_1171]
Értékeld
Beküldő: - Szólj hozzá
Szint: Emelt Kedvencekhez
Megnézték:
10541
Nyomtasd
Dátum: 2013-05-02 Küldd tovább
  Letöltés

Definíciók:

1. Természetes számok (N):

A pozitív egész számokat és a 0-t együtt természetes számoknak nevezzük.

A természetes számok halmaza zárt az összeadásra és a szorzásra nézve. (A zártság annyit jelent, hogy ezek a műveletek a számhalmaz elemeivel korlátlanul elvégezhetők, és az eredmény is természetes szám marad.)

Kivonásokat is végezhetünk a természetes számok körében, pl.: 13-5=8. Ha azonban azt akarjuk, hogy ez a művelet korlátlanul elvégezhető legyen, tehát kisebb számból is ki tudjunk vonni nagyobbat, akkor bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért bevezettük a negatív egész számokat. A negatív egész számok halmazának a jele: Z-

 

2. Egész számok (Z):

A természetes számokat és a negatív egészeket együtt egész számoknak nevezzük.

Ez a halmaz már zárt az összeadásra, szorzásra és a kivonásra nézve is. Az egész számok halmazán az osztás nem mindig végezhető el. Pl.: az 5:3 művelet eredménye kivezet a halmazból. Ahhoz, hogy az ilyen osztás is elvégezhető legyen, bővítenünk kell a számhalmazt. Ezért vezetjük be a törtszámokat.

A törteket és az egészeket együtt racionális számoknak nevezzük.

 

3. Racionális számok (Q):

A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak nevezzük.

Racionális számok a véges- vagy a végtelen szakaszos tizedestörtek.

Ezzel még nem ért véget a számfogalom bővítése. Például az egységnyi oldalú négyzet átlójának hossza nem adható meg két egész szám hányadosaként.

 

4. Irracionális számok (Q*):

Azokat a számokat, amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként, irracionális számoknak nevezzük.

Irracionális számok a végtelen nem szakaszos tizedestörtek.

 

5. Valós számok (R):

A racionális és az irracionális számokat együtt valós számoknak nevezzük.

R=QQ*

Bizonyítható, hogy a valós számok és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető.

Az a, b és c valós számok összeadására és szorzására érvényesek a következő tulajdonságok:

* Kommutativitás:

a+b=b+a ab=ba

* Asszociativitás:

(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)

 * Disztributivitás:

(a+b)c=ac+bc

 

8. Komplex számok:

A gyökvonás művelete kivezet a valós számok halmazából, ezért szükséges egy újabb számhalmaz, a komplex számok bevezetése.

 

7. Ekvivalens halmazok:

Két halmazt ekvivalensnek mondunk, ha létezik közöttük bijekció (kölcsönösen egyértelmű ráképezés).

 

8. Halmaz számossága:

Egy H halmaz számossága az elemeinek száma. Jele: |H|.

 

9. Véges halmaz:

Egy halmazt véges halmaznak nevezünk, ha nem ekvivalens egyetlen valódi részhalmazával sem.

 

10. Végtelen halmaz:

Egy halmaz végtelen, ha nem véges.

 

11. Megszámlálhatóan végtelen halmaz:

Azokat a halmazokat, amelyek ekvivalensek a természetes számok halmazával, megszámlálhatóan végtelen halmaznak nevezzük.

A megszámlálhatóan végtelen halmaz számosságát a héber ABC első betűjével jelöljük: א0 (alefnull).

|N|=|Z+|=|Z|=|Q+|=|Q|=א0

 

12. Kontinuum számosság:

A valós számok halmazával ekvivalens halmazokat nem megszámlálhatóan végtelen vagy kontinuum számosságú halmazoknak nevezzük.

A kontinuum számosságot a gót ABC c betűjével jelöljük.

|R|=|Q*|=|a sík pontjainak halmaza|=|egyenes pontjainak halmaza|=|félegyenes pontjainak halmaza|=|szakasz pontjainak halmaza|=|körív pontjainak halmaza|=kontinuum

 

Tételek:

1. Minden racionális szám felírható két egész szám hányadosaként.

Mivel a racionális számok véges- vagy végtelen szakaszos tizedestörtek, azt kell bizonyítanunk, hogy bármely két egész szám hányadosa felírható ilyen alakban.

Az (a;bZ) osztást elvégezve a lehetséges maradékai: 0; 1; 2; … b-1. Ha a maradék 0, akkor véges tizedestört, ha nem 0, akkor végtelen szakaszos tizedestört. Legfeljebb a b-edik lépésben olyan maradék jön elő, ami már szerepelt. Igaz a tétel megfordítása is, mi szerint bármely véges, vagy végtelen szakaszos tizedestört racionális szám.

 

2. A irracionális szám.

A bizonyítás indirekt módon történik.

egyszerűsíthető 2-vel; nem teljesül az indirekt feltétel a irracionális szám

 

3. Az egész számok halmaza megszámlálhatóan végtelen.

Ezt úgy bizonyíthatjuk, hogy kölcsönösen egyértelmű ráképezést, azaz bijekciót keresünk az egész számok halmaza és a természetes számok halmaza között.

 

 

Alkalmazások:

Matematikai:

* Értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatánál számhalmazokat keresünk.

* Beszélhetünk a prímszámok, a páros számok, a négyjegyű számok, a négyzetszámok (…) halmazáról.

* A teljes indukcióval való bizonyításnál a természetes számoknak azt a tulajdonságát használjuk ki, hogy minden természetes számhoz egyet adva ismét természetes számot kapunk.

 

Egyéb:

* A termékek ára egy-egy pozitív egész (vagy racionális) szám.

* A fizika a vezetékes átviteltechnikában komplex számokat használ.


 

Facebook hozzászólok

Facebook hozzászólók

Hozzászólok

Ha szeretnél hozzászólni, lépj be!

Ezt olvastad már?
Übergewicht ist ein Problem

Übergewicht ist ein Problem, das in der Gesellschaft immer größer...

Close