A tartalom eléréséhez kérjük, lépj be!
Kezdd itt
Szavas kereso
Szint kereso
Top 10 feltöltő

Top 10 feltöltő


Hatványozás

VN:F [1.9.22_1171]
Értékeld
Beküldő: - Szólj hozzá
Szint: Közép Kedvencekhez
Megnézték:
3260
Nyomtasd
Dátum: 2013-04-08 Küldd tovább
  Letöltés

Definíciók: an egy n tényezős szorzat, melynek minden tényezője a. a valós, n pozitív egész.

a,b valós, n,m pozitív egész szám:

Azonosságok:

  1. an∙am=an+m (azonos alapú hatványok szorzata az alap a kitevők összegére emelve)

  2. an:am=an-m n>m (azonos alapú hatványok hányadosa az alap a kitevők különbségére emelve)

  3. (an)m=an∙m (hatvány hatványa az alap a kitevők szorzatára emelve)

  4. an∙bn=(a∙b)n (azonos kitevőjű hatványok szorzata az alapok szorzata a kitevőre emelve)

  5. an:bn=(a:b)n (azonos kitevőjű hatványok hányadosa az alapok hányadosa a kitevőre emelve)

 

Kibővítjük a hatványfogalmat, vagyis bővítjük a kitevő értelmezési tartományát. Ezt a permanencia-elvvel összhangban tesszük, vagyis úgy, hogy a korábban fennálló azonosságok ne sérüljenek.

Definíció: a0=1, 0-nak nem értelmezzük a nulladik hatványát. Az azonosságok ezzel megmaradnak.

A második azonosságot bővítve: a0:am=a0-m. Ezzel a szemlélettel kiterjesztjük a negatív kitevőkre is a hatványfogalmat:

Definíció: a-n=1/an, ha n természetes szám.

A hatványfogalmat tovább bővítjük, a kitevőket értelmezve a racionális számok halmazán is. Racionális számok azok a számok, amelyek felírhatóak két egész szám hányadosaként.

Definíció: ap/q az a szám, amit ha a q-adik hatványon veszünk, ap-t kapjuk (elég p,q pozitív egészekre vizsgálni, lévén, hogy értjük a negatív kitevő fogalmát). Az egyértelműség végett szükséges, hogy p és q relatív prímek legyenek. Abban az esetben, ha q páros, az alap csak pozitív szám lehet. (A törtkitevő ekvivalens a gyökvonással, ld. később). Azonosságok is megmaradnak.

Mivel az irracionális számok tetszőlegesen közelíthetőek racionális számokkal, és az exponenciális függvények szigorúan monotonak, ezért az irracionális kitevőt is értelmezzük.

A hatványfogalom ismeretében minden valós számra értelmezzük a hatványfüggvényt:

f(x)=xn (n valós szám).

Képe leginkább a kitevő paritásától függ. A páros kitevőjű hatványfüggvények párosak, míg a páratlan kitevőjű függvények páratlanok.

Transzformálhatóak, összeadással (és kivonással) eltolhatjuk őket az x, illetve az y tengely mentén, szorzással (és osztással) pedig a két tengely mentén alkalmazhatunk merőleges affinitást.


 

Facebook hozzászólok

Facebook hozzászólók

Hozzászólok

Ha szeretnél hozzászólni, lépj be!

Ezt olvastad már?
A felvilágosodás irodalma és Csokonai Vitéz Mihály

A felvilágosodás irodalma 1. Galilei szerint a természet matematikai nyelven...

Close