A tartalom eléréséhez kérjük, lépj be!
Kezdd itt
Szavas kereso
Szint kereso
Top 10 feltöltő

Top 10 feltöltő


Bizonyítsuk be, hogy gyökkettő irracionális

VN:F [1.9.22_1171]
Értékeld
Beküldő: - Szólj hozzá
Szint: - Kedvencekhez
Megnézték:
5890
Nyomtasd
Dátum: 2008-01-30 Küldd tovább
  Letöltés

A bizonyítás az indirekt, tegyük fel, hogy a \sqrt{2} racionális, vagyis felírható \frac{p}{q} alakba, ahol a p, és a q egész számok, és tegyük fel, hogy a p, és q relatív prímek, azaz a \frac{p}{q} tört már leegyszerűsített formában van, nem lehet tovább egyszerűsíteni.

\sqrt{2} = \frac{p}{q}

Emeljük négyzete az egyenlet mindkét oldalát, majd szorozzunk be q^2-tel.

2 q^2 = p^2

Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy nem csak a p^2 páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a p 2k alakú, akkor a p^2 az 4k^2 alakú. Ezt beírva az “eredeti” egyenletünkbe:

2q^2 =4k^2 Egyszerűsítünk 2-vel: q^2 =2k^2

Ekkor viszont q^2 is páros, amiből következik, hogy q is az. Tehát p és q nem relatív prímek.

Ellentmondásra jutottunk, a kiinduló feltétel hibás, azaz \sqrt{2} irracionális.


 

Facebook hozzászólok

Facebook hozzászólók

Hozzászólok

Ha szeretnél hozzászólni, lépj be!

Ezt olvastad már?
Mi a számelmélet alaptétele?

Mi a számelmélet alaptétele? Minden 1-től  különböző pozitív egész szám...

Close