A tartalom eléréséhez kérjük, lépj be!
Kezdd itt
Szavas kereso
Szint kereso
Top 10 feltöltő

Top 10 feltöltő


Azonosságok #3

VN:F [1.9.22_1171]
Értékeld
Beküldő: - Szólj hozzá
Szint: - Kedvencekhez
Megnézték:
2754
Nyomtasd
Dátum: 2008-01-30 Küldd tovább
  Letöltés

Igazoljuk a következő azonosságokat:

A. logA (x*y) =logA x +logA y
B. logA (x /y) =logA x -logA y
C. logA (x^k) =k*logA x

Milyen kikötéseket kell tenni x-re, y-ra, a-ra, ill. k-ra?
A.
Az állítás igaz, ha x >0, y >0 [amire vonatkozik a logaritmus], az A >0 [alap], mely nem lehet egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy szorzat adott alapú logaritmusa egyenlő a tényezők ugyanilyen alapú logaritmusainak összegével.

Bizonyítása: A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy a logaritmus függvény szigorúan monoton.

Írjuk fel az x-et, és az y-t A hatványaként!

x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y

Ezt a jelölést alkalmazzuk a bizonyítandó egyenlőség bal oldalára, majd felhasználjuk azt, hogy egyenlő alapú hatványokat úgy szorozhatunk össze, hogy a közös alapot a kitevők összegére emeljük.] =u +v logA (x*y) =logA (a^u*a^v) =logA (a^(u +v)) [Egyenlő alapú
hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevők összegét vesszük]
logA x +logA y =u +v
A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.
logA (x*y) =logA x +logA y

Kikötés: x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel.

B.
Az állítás igaz, ha x >0, y >0, a >0 és nem egyenlő 1-gyel. Az azonosság azt mondja ki, hogy hányados adott alapú logaritmusa megegyezik a számláló, és a nevező ugyanilyen alapú logaritmusának különbségével.

Bizonyítása: felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és a logaritmus függvény szigorúan monoton.
x =a^u
y =a^v
u =logA x
v =logA y
logA (x /y) =logA ({a^u /a^v}) =logA (a^(u -v)) =u -v
logA x -logA y =u -v

C.
Az állítás igaz akkor, ha x >0, k valós, és az A >0, de nem egyenlő 1-gyel.

Az azonosság azt mondja ki, hogy hatvány adott alapú logaritmusa megegyezik a hatvány a hatvány adott alapú logaritmusának, és a hatvány kitevőnek a szorzatával.

A bizonyítás során felhasználjuk a logaritmus definícióját, és azt, hogy az exponenciális, és logaritmus függvény szigorúan monoton:
x =a^u
u =logA x

A bizonyítandó egyenlőség bal oldala [felhasználva, hogy hatványt úgy hatványozunk, hogy az alapot a kitevő szorzatára emeljük] így írható: logA (x^k) =logA ((a^u)^k) =logA (a^(u*k)) =u*k
A jobb oldala: k*logA x =k*u

A két oldal tehát egyenlő, így a bizonyítandó állítás igaz.

A logaritmus alkalmazások alkalmazása megváltoztatja a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományát. A felírás sorrendjében olvasva szűkíti, vagy szűkítheti azokat. Az egyenletek megoldásakor gyakran alkalmazzuk a fenti [A, B, C] azonosságokat fordított irányba olvasva is. A logaritmikus egyenletek megoldásakor többnyire bővül az egyenletekben szereplő függvények értelmezési tartománya. Hamis gyökök föllépését elkerülhetjük, ha az azonosságok alkalmazása előtt kikötjük a szükséges megszorításokat, és a megoldáskor kapott eredményeket ezekkel összevetjük. Ezt helyettesíthetjük a gyökök ellenőrzésével.


 

Facebook hozzászólok

Facebook hozzászólók

Hozzászólok

Ha szeretnél hozzászólni, lépj be!

Ezt olvastad már?
Mit jelent az A alapú logaritmus b, és milyen kikötéseket kell tenni a-ra, és b-re?

Mit jelent az A alapú logaritmus b, és milyen kikötéseket...

Close