Belül légritkított, hosszú üvegbúrába izzítható fémszálat forrasztunk, elé lyukkal ellátott fémlapot. A fémszálat katódként egyenfeszültségű forrás negatív sarkára kötjük, a fémlap pedig a pozitiv anód. A katódsugarat rá merőleges , homogén mágneses mezőbe vezetve a sugárzást alkotó q töltésű részecskék a Lorentz erő hatására R sugarú körpályán mozognak.

A fémre vitt többlettöltés telje egészében a fém külső felületén helyezkedik el. A térerőség a fém belsejében nulla. Az erővonalak a fém felületére merőlegesek.

Legyen az ABC háromszög A-B oldalának felezőmerőlegese E. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A B-C oldal felezőmerőlegese F. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel A-B és B-C metszik egymást, a felezőmerőlegeseik E és F metszik egymást [mert metsző egyenesekre merőlegesek]. Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is. Tehát M rajta van az A-C oldal felezőmerőlegesén. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög három csúcsától egyenlő távolságra van. Így ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

A.
Három adott ponttól, A-tól, B-től, és C-től egyenlő távolságra lévő pontok a síkban azok, amelyek egyenlő távolságra vannak A-tól is és B-től is, és ugyanakkor B-től is és C-től is. Egy síkban az A-tól és B-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az A-B szakasz felezőmerőlegese: A B-től és C-től egyenlő távolságra lévő pontok halmaza pedig a B-C szakasz felezőmerőlegese. A keresett ponthalmaz tehát a két felezőmerőleges közös pontjaiból áll. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két felezőmerőlegesnek 1 közös pontja van, ez a pont mindhárom ponttól egyenlő távolságra van. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy A-C felezőmerőlegese is átmegy ezen a ponton; vagyis a háromszög három oldalfelezőmerőlegese egy pontban metszi egymást. Ha a három pont egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges párhuzamos, a két egyenesnek nincs közös pontja, tehát a keresett ponthalmaz üres. A térben az A,B és C ponttól egyenlő távolságra lévő pontok az A-B szakasz felezőmerőleges síkjának és a B-C szakasz felezőmerőleges síkjának a közös pontjai. Ha A,B és C egy egyenesbe esik, akkor a két felezőmerőleges sík párhuzamos egymással, tehát a keresett ponthalmaz üres halmaz. Ha A,B és C háromszöget alkot, akkor a két sík egy egyenesben metszi egymást. Ez az egyenes az ABC háromszög köré írható kör középpontján átmenő, az ABC háromszög síkjára merőleges egyenes.

B.
Egy sík három egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmazát azokban az esetekben nézzük, amikor a három egyenes közt nincs egybeeső pont. Ha a három egyenes párhuzamos, nincs a feltételeket kielégítő pont. Ha a három egyenes közül 2 párhuzamos egymással, és a harmadik egyenes metszi őket [a és b párhuzamosak, e metszi a-t és b-t,], akkor az a és b párhuzamos egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két egyenes középpárhuzamosa (p). Az a és e egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az f1 és f2 szögfelező egyenesek. Mindhárom egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a két halmaz metszete: P1 és P2 pont. P1 és P2 egyenlő távolságra van az e-től és b-től is. [Az általuk bezárt szög szögfelező egyeneseivel is dolgozhattunk volna.] A háromszög belsejében a feltételeket kielégítő pont a három belső szögfelező metszéspontja. A 2.3. és 4. jelű síktartományban a háromszög egy belső szögfelezőjének és a másik két csúcshoz tartozó külső szögfelezőnek a metszéspontja adja a feltételeket kielégítő pontokat [minden síktartományban egyet]. Ha a három egyenes 1 pontban metszi egymást, akkor egyetlen pont elégíti ki a feltételeket, a három egyenes metszéspontja.

B.
Ha két adott egyenes párhuzamos, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza olyan egyenes, amely a két adott egyenessel párhuzamos, és távolságukat felezi. Ha a két egyenes [e és f] metszi egymást, akkor az egyenesektől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza az általuk bezárt szögek szögfelező egyenesei.

A. Egy, a síkot metsző egyenes merőleges a síkra, ha merőleges a sík minden egyenesére. Ha az e egyenes nem merőleges a síkra, akkor az egyenes merőleges vetülete a síkon szintén egyenes (e’). Ebben az esetben az egyenes és a sík hajlásszögén az egyenes és a vetület hajlásszögét értjük. Bizonyítható, hogy ez a szög a legkisebb az e egyenes és a sík egyenesei által bezárt szögek között.

B.
Ha a két sík nem párhuzamos egymással, akkor metszésvonaluk egy pontjában mindkét síkban merőlegest állítunk a metszésvonalra. A két sík hajlásszöge a két merőleges hajlásszöge. Ez a szög a pont megválasztásától független. Megkaphatjuk ezt a szöget úgy is, hogy a metsző síkokat 1, a metszésvonalakra merőleges síkkal elmetszük. Ez a sík az eredeti két síkból egy-egy egyenest metsz ki. Ezek hajlásszöge a két sík hajlásszöge.

Egyetlen olyan egyenes van, amely két kitérő egyenes mindkettőjét merőlegesen metszi. Ezt az egyenest szokták a két kitérő egyenes normál transzverzálisának nevezni. Két kitérő egyenes távolsága a normál transzverzálisuknak az egyenesek közé eső szakaszának hossza. Ha két kitérő egyenes mindegyikére másikkal párhuzamos síkot fektetünk, akkor az így kapott két sík távolsága egyenlő a két kitérő egyenes távolságával. Az e és az f kitérő egyenesek transzverzálisát úgy is megkaphatjuk, hogy az e egyenesen át az f-fel párhuzamos síkot helyezünk el, majd f-en át merőleges síkot állítunk az előbbi síkra. Ezután a két sík metszésvonalának az e egyenessel való metszéspontjában az első síkra merőlegest állítunk. Ez a keresett egyenes.

A.
Pont és egyenes távolságán a pontból az egyenesre bocsájtott merőlegesnek a pont és egyenes közötti szakasza hosszát értjük.

B.
Párhuzamos egyenesek távolságán az egyik egyenes valamely pontjából a másik egyenesre bocsájtott merőlegesnek a két egyenes közötti szakaszának hosszát értjük.

C.
Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőlegesnek a pont és sík közötti szakaszának a hosszát értjük.

D.
Párhuzamos síkok távolságán az egyik sík valamely pontjából a másik síkra bocsájtott merőleges – két sík közötti szakaszának – hosszát értjük.

Bizonyítása:

A feltételek alapján a vezéregyenes egyenlete:
y =-P /2.

A P(x,y) pont akkor és csak akkor van a parabolán, ha P-nek a vezéregyenesen lévő merőleges vetületét T-vel jelölve (P -F =P -T), vagyis:
`(x^2 +(y -P /2)^2) =y +P /2.

Az egyenlet mindkét oldalát négyzetre emelve, majd rendezve kapjuk az (x^2 =2*p*y) alakot, amely eqivalens az előbbi egyenlettel, mivel a feltételek miatt (y +p /2) pozitív. A kapott egyenlet az y tengelyű parabola tengelyponti egyenlete.

Az x tengelyű parabola tengelyponti egyenlete:
y^2 =2*p*x.