A. A háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van.

B. A tétel első része: Egy háromszögben nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van.

35. Igazolja, hogy a háromszög oldalainak felezőmerőlegesei egy pontban metszik egymást.

Legyen az ABC háromszög A-B oldalának felezőmerőlegese e. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A B-C oldal felezőmerőlegese F. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel A-B és B-C metszik egymást, a felezőmerőlegeseik e és F metszik egymást [mert metsző egyenesekre merőlegesek]. Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is. Tehát M rajta van az A-C oldal felezőmerőlegesén. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög három csúcsától egyenlő távolságra van. így ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.

36. Igazolja, hogy a háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást!

Legyen az ABC háromszög alfa szögének szögfelezője F-alfa. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van a b és a c oldaltól. A béta szög szögfelezője F-béta. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van az a oldaltól és a c oldaltól. Az Falfa és az Fbéta szögfelezők a háromszög belsejében metszik egymást, a metszéspont N, amely egyenlő távolságra van btől és ctől, és atól és ctől is, vagyis mindhárom oldaltól. Eszerint egyenlő távol van atól és btől is, tehát rajta van a epszilon szög szögfelezőjén is [kihasználjuk, hogy N a háromszög belsejében van]. A három belső szögfelező egyetlen kötös pontja az N, az ABC háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja.

37. Bizonyítsa be, hogy a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást!

A háromszög magasságvonala a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges. Egy háromszögnek három magasságvonala van. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a háromszög magasságpontjában metszik egymást.

38. Igazolja Thálész tételét, és a tétel megfordítását!

Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk.

A tétel megfordítása: Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, az átfogó a kör átmérője.

55. Bizonyítsa be, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást!

Egy háromszög slyvonala a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. A háromszögnek 3 súly vonala van. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a súlyvonalakat kettő egy arányban úgy osztja két részre, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felöl van.

56. Bizonyítsa be a Pitagoras-tételt, és a tétel megfordítását.

Pitagoras tétele: A derékszögű háromszög befogóira rajzolt négyzetek területeinek összege egyenlő az átfogóra rajzolt négyzetek területével. Algebrai alakban: A^2 +b^2 =c^2, ahol a és b a derékszögü háromszög két befogója és c az átfogója.

A Pitagoras tétel azt mondja ki, hogy a derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege az átfogó négyzetével egyenlő.

A Pitagoras tétel megfordítása: Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

58. Bizonyítsa be, hogy a háromszög belső szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja!

A háromszög b cscsából induló szögfelező a szemközti oldalt kétrészre osztja. Jelöljük ezeket b1-gyel és b2-vel. A tétel állítása szerint: b1/b2=a/c.

63. Bizonyítsa be, hogy a derékszögü háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.

A derékszögű háromszög befogója az átfogónak és a befogó átfogóra eső merőleges vetületének mértani közepe.

• Krotonban telepedett le, politikai befolyásra tett szert
• Ő alkotta meg a város alkotmányát és befolyást gyakorolt a város gazdasági, politikai és szociális viszonyainak alakulására, nevéhez fűződik a város pénzverésének megteremtése.
• Követői már a mester életében szövetségbe tömörültek, amelyek hierarchikusan épültek fel, tagjai vagyonközösségekben éltek és egymással szerves egységet alkottak. A szövetségek nők számára is nyitva álltak. Feladatuknak tekintették a vallásos-filozófiai hagyomány ápolását és gyarapítását. Jelentős politikai szerepet játszottak, üldözték is őket.

A püthagoraszi világszemlélet

• Alapjában vallásos jellegű –> az emberi lelket a testtől elkülönülő, önállő létezőnek tartották, sőt az emberi személyiség értékesebb felének, amelyet a testi lét többé-kevésbé beszennyez.
• Kidolgozták a lélek megtisztulásának tanát, és a lélek halhatatlanságának tanát.
• Lélekvándorlás tana: a léleknek többszöri megtestesülésen kell átmennie ahhoz, hogy megszabaduljon a testiség korlátaitól és megtisztulva az istenek honába visszatérjen. –> ehhez aszketikus életmód és szellemi erőfeszítés szükséges.
• Hozzájárultak a tudomány, főleg a matematika fejlődéséhez –> a valóságot számviszonyokkal jellemezhető rend (harmónia) hatja át.

Harmónia és arány

• A derékszögű háromszög két befogójának négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével
• A háromszög szögeinek összege két derékszöggel egyenlő
• Megkülönböztet tökéletes és nem tökéletes számokat
  • Tökéletes számok: háromszög-, derékszög-, négyzetszámok
    • Háromszögszámok: az első n természetes szám összegei és belőlük háromszögek alkothatók (1+2+3+4=10)
    • Derékszögszámok: a függőleges sor mindig eggyel kevesebb pontból áll, mint a vízszintes (2, 6, 12…)
    • Négyzetszámok: páratlan számok összegezéséből (1+3=4)
• Vannak olyan számhármasok, amelyek közül kettőnek a négyzetösszege egyenlő a harmadik négyzetével (32+42=52)
• A zenei harmónia számok arányaival fejezhető ki
• Páratlan számoknak az erkölcsileg jó, a párosoknak az erkölcsileg rosszat feleltették meg

A püthagoraszi asztronómia, ontológia és etika

• Mindenütt a rendet keresték, mely az összhang forrása.
• A világmindenség összhangját a zenei harmónia mintájára képzelték el. –> a földi testek mozgásuk közben zajt adnak –> az égitestek mozgása is hangokkal jár „szférák zenéje”
• Többségük a Földet tekintette a kozmosz középpontjának
• Kivétel: Philolaosz: a középpont egy tűzcentrum, amely körül kering a Föld, az Ellenföld, a Hold, a Nap és az állócsillagok
• A valóság lényegét a rend alkotja, amely matematikai viszonyokkal, főleg arányokkal kifejezhető
• A számok a valóság építőkövei
• A rend normatív eszme. Ha az ember cselekvésében ezt a harmóniát valósítja meg, akkor jót, ha vele ellentéteset, akkor rosszat cselekszik
• A rendnek isteni jelleget tulajdonítanak
• Az erényeknek is bizonyos számoknak kell megfelelniük (igazságosság:4)

A körcikk a körlapnak és egy középponti szög tartományának a közös része. Az sugarú hosszságú ívhez tartozó körcikk nyílásszöge fokokban kifejezve legyen fok, az ívmértéke legyen , a kör cikk területe legyen.

A körben a középponti szög és a hozzá tartozó körcikk területe egyenesen arányos.

Ezt felhasználva: , innen

az ívmérték definíciója alapján a körív hossza a hozzátartozó középponti szög ívmértékének -szerese; . Beírjuk ezt be a körcikk ívmértékkel kifejezett területképletébe:

a körszelet területét úgy számoljuk ki, hogy az őt tartalmazó körcikk területéből kivonjuk kiegészítő háromszög területét: Körszelet területe : A körív hosszához tartozó középponti szög.

A háromszög b cscsából induló szögfelező a szemközti oldalt két részre osztja. Jelöljük ezeket b1-gyel és b2-vel. A tétel állítása szerint: b1/b2=a/c.

Algebrai alakban: , ahol a és b a derékszögű háromszög két befogója és c az átfogója.

Bizonyítás:

I. A legismertebb

Az ábráról leolvasható a tétel bizonyítása.

A két oldalú négyzet területe egyenlő, és ha mindkettőből elvesszük az eredeti háromszög területének 4-szeresét, akkor egyenlő területeket kapunk.

II. A befogó-tétel segítségével

Legyen a háromszög két befogója a és b az átfogója pedig c! Ossza az átfogót a hozzá tartozó magasság
és részre!

Ekkor a befogó tételt felírva:

A két egyenletet összeadva:

A Pitagorasz-tétel megfordítása:

Ha egy háromszög két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.

Vegyünk egy háromszöget, melyre teljesül, hogy , ahol a, b és c a háromszög oldalai!
Be fogjuk látni, hogy derékszögű.
Az a és b befogójú derékszögű háromszög átfogója legyen ! Írjuk fel a Pitagorasz-tételt erre a háromszögre!

A két egyenletet összevetve kapjuk, hogy , amiből következik. Ez viszont azt jelenti, hogy a két háromszög oldalai megegyeznek, így a két háromszög egybevágó, ezért az eredeti háromszögnek is van derékszöge.

Egy háromszög súlyvonala a háromszög egyik csúcspontját a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. A háromszögnek 3 súlyvonala van. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a súlyvonalakat kettő egy arányban úgy osztja két részre, hogy a hosszabb szakasz a csúcs felöl van.

Egy kör tetszőleges átmérőjének két végpontját a körvonal bármely más pontjával összekötve derékszögű háromszöget kapunk.

A tétel megfordítása:
Derékszögű háromszög köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja, az átfogó a kör átmérője.

A háromszög magasságvonala a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldal egyenesére bocsájtott merőleges. Egy háromszögnek három magasságvonala van. A háromszög magasságvonalai egy pontban, a háromszög magasságpontjában metszik egymást.

Legyen az ABC háromszög alfa szögének szögfelezője F-alfa. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van a b és a c oldaltól. A béta szög szögfelezője F-béta. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van az a oldaltól és a c oldaltól. Az F-alfa és az F-béta szögfelezők a háromszög belsejében metszik egymást, a metszéspont N, amely egyenlő távolságra van b-től és c-től, és a-tól és c-től is, vagyis mindhárom oldaltól. Eszerint egyenlő távol van a-tól és b-től is, tehát rajta van a epszilon szög szögfelezőjén is [kihasználjuk, hogy N a háromszög belsejében van]. A három belső szögfelező egyetlen kötös pontja az N, az ABC háromszög mindhárom oldalát érintő kör középpontja.

Legyen az ABC háromszög A-B oldalának felezőmerőlegese E. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van A-tól és B-től. A B-C oldal felezőmerőlegese F. Ennek minden pontja egyenlő távolságra van B-től és C-től. Mivel A-B és B-C metszik egymást, a felezőmerőlegeseik E és F metszik egymást [mert metsző egyenesekre merőlegesek]. Az M metszéspont egyenlő távolságra van A-tól és B-től, B-től és C-től is; vagyis mindhárom ponttól, eszerint A-tól és C-től is. Tehát M rajta van az A-C oldal felezőmerőlegesén. Ezzel állításunkat bebizonyítottuk.

A három felezőmerőleges egyetlen közös pontja az M, a háromszög három csúcsától egyenlő távolságra van. Így ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja.