A mértani sorozat olyan számsorozat, amelyben – a második elemtől kezdve – bármelyik elem a közvetlen előtte álló elemnek ugyanannyiszorosa (q)-szorosa.  A q a mértani sorozatra jellemző állandó szorzótényező.  Ha a quociens (q) pozitív, akkor a sorozat minden tagja azonos előjelű, ha a quociens negatív, akkor a tagok váltakozó előjelűek.  Ha (q >1), akkor a sorozat szigoruan monoton növekvő, (0 <1)-re.  Ha q =0, akkor a sorozat második elemétől kezdve minden elem 0. Ha q =1, akkor a sorozat minden eleme megegyezik. Pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely 3 egymásután álló elem közül a középső a két szélsőnek a mértani közepe. Általánosan is igaz: a pozitív számokból álló mértani sorozatban bármely elem a tőle szimetrikusan elhelyezkedő elemeknek a mértani közepe.

Az első n pozitív egész szám négyzetösszege .

Bizonyítás (Teljes indukcióval)

I. Az összefüggés n =1-re igaz: .

II. Tegyük fel, hogy n – 1-re igaz az állítás:
.

III. Megmutatjuk, hogy ekkor n-re is.
Adjuk az egyenlet mindkét oldalához -et

.

A jobb oldalát közös nevezőre hozva, beszorozva, összevonva, majd szorzattá alakítva:

, ami épp a bizonyítandó állítás.

Ezzel igazoltuk, hogy az összefüggés minden pozitív számra igaz.

n`a {pozitív páros n-re, és nem negatív a-ra], az a nem negatív valós szám, amelynek az n-edik hatványa a. Páros n-re, és negatív a-ra nincs értelme, mivel a valós számok páros kitevőjű hatványa nem lehet negatív. Egynél nagyobb páratlan n-re: A valós szám, melynek az n-edik hatványa A.

Pl.:  3`27 =3, 4`256 =4, 5`-32 =-2
Mert: 3^3 =27, 4^4 =256, (-2)^5 =-32

-túgy nevezzük, hogy a hatvány alapja, az -et pedig úgy, hogy a hatvány kitevője, és az -t pedig a hatvány mennyiségnek, vagy hatványértéknek, vagy  röviden csak hatványnak szoktuk mondani.

Emeljük négyzete az egyenlet mindkét oldalát, majd szorozzunk be -tel.

Minden páros szá négyzete páros szám, és minden páratlan szám négyzete páratlan szám, s ez azt jelenti, hogy nem csak a páros, hanem a p is páros, azaz 2k alakú. Ha a alakú, akkor a az alakú. Ezt beírva az “eredeti” egyenletünkbe:

Egyszerűsítünk 2-vel:

Ekkor viszont is páros, amiből következik, hogy q is az. Tehát p és q nem relatív prímek.

Ellentmondásra jutottunk, a kiinduló feltétel hibás, azaz irracionális.

Minden 1-től  különböző pozitív egész szám felbontható prímszámok szorzatára. Ez a felbontás a tényezők sorrendjétől eltekintve egyértelmű. Az 1-et azért nem vesszük a prímszámok közé, mert akkor nem lehetne a számokat a sorrendtől eltekintve egyértelműen prímtényezőkre bontani. Pl.: [végtelen 1-es szorzót is hozzávehetünk, de akkor már nem egyértelmű a felbontás.]

Pl.:

Egy racionális szám  legegyszerűbb törtalakja az a tört, amely tovább nem egyszerűsíthető, tehát a számlálója, és a nevezője relatív prím. A szóbanforgó racionális szám  egész szám, ha a legegyszerűbb törtalakjának nevezője 1. Racionális számok tizedestört alakja véges, ilyenkor a legegyszerűbb törtalakjának a nevezője olyan szám, amelynek a prím tényezői között kettőn, és ötön kívül más prímszám nem szerepel, vagy szakaszos, végtelen tizedestört, s a szakasz kevesebb számjegyből áll, mint amennyi a  tört nevezője. Minden racionális szám felírható véges, vagy végtelen  szakaszos tizedestört formájában, ill. minden olyan tizedestört, amelyik véges, vagy végtelen szakaszos, az átírható közönséges tört formájába. [A végtelen szakaszos tizedestörtek átírásáról bővebben  a mértani sorozatnál lesz szó!]